Hipotezės tikrinimas finansuose: samprata ir pavyzdžiai

Investicijų patarėjas siūlo jums mėnesinį pajamų investavimo planą, kuris kiekvieną mėnesį žada kintamą grąžą. Jūs investuosite į jį tik tuo atveju, jei būsite tikri dėl vidutinių 180 USD mėnesinių pajamų. Jūsų patarėjas taip pat jums sako, kad per pastaruosius 300 mėnesių schema turėjo investicijų grąžą, kurios vidutinė vertė buvo 190 USD, o standartinis nuokrypis - 75 USD. Ar turėtumėte investuoti į šią schemą? Tokiems sprendimams padėti yra hipotezės testas.

Straipsnyje daroma prielaida, kad skaitytojai yra susipažinę su įprasto paskirstymo lentelės, formulės, p vertės ir su ja susijusiais statistikos pagrindais.

Kas yra hipotezės tikrinimas?

Hipotezės arba reikšmingumo testas yra matematinis teiginio, idėjos ar hipotezės apie dominantį parametrą tam tikroje populiacijos grupėje tyrimas, naudojant duomenis, išmatuotus imties rinkinyje. Skaičiavimai atlikti atrinktiems mėginiams, siekiant surinkti daugiau lemiamos informacijos apie visos populiacijos ypatybes, o tai įgalina sistemingą būdą patikrinti teiginius ar idėjas apie visą duomenų rinkinį.

Štai paprastas pavyzdys: Mokyklos direktorė praneša, kad jos mokyklos mokiniai egzaminuose vertina vidutiniškai 7 iš 10. Norėdami patikrinti šią „hipotezę“, užrašome 30 mokinių (imties) procentus iš visos mokyklos studentų grupės (tarkime 300) ir apskaičiuojame tos imties vidurkį. Tada galime palyginti (apskaičiuotą) imties vidurkį su (praneštu) populiacijos vidurkiu ir bandyti patvirtinti hipotezę.

Paimkime dar vieną pavyzdį, tam tikro investicinio fondo metinė grąža yra 8%. Tarkime, kad investicinis fondas gyvuoja 20 metų. Mes imamės atsitiktinės imties, pavyzdžiui, penkerių metų investicinio fondo metinės grąžos (imties) ir apskaičiuojame jo vidurkį. Tada palyginame (apskaičiuotos) imties vidurkį su (teigiama) populiacijos vidurkiu, kad patikrintume hipotezę.

Sprendimų priėmimo kriterijai turi būti pagrįsti tam tikrais duomenų rinkinių parametrais.

Yra skirtingos hipotezės tikrinimo metodikos, tačiau tai apima tuos pačius keturis pagrindinius veiksmus:

1 žingsnis: apibrėžkite hipotezę

Paprastai pranešta vertė (arba teiginių statistika) nurodoma kaip hipotezė ir laikoma, kad ji yra tiesa. Aukščiau pateiktų pavyzdžių hipotezė bus:

• A pavyzdys: Mokiniai mokykloje vertina egzaminus vidutiniškai 7 iš 10.
• B pavyzdys: Investicinio fondo metinė grąža yra 8% per metus.

Šis nurodytas apibūdinimas yra „ niekinė hipotezė (H ₀ ) “ ir manoma, kad tiesa - būdas, kuriuo prisiekusiųjų teisme kaltinamasis laikomas nekaltu, kol teisme nepateikta kaltė. Panašiai hipotezės tikrinimas pradedamas nustatant ir darant prielaidą „niekinė hipotezė“, o tada procesas nustato, ar prielaida greičiausiai yra teisinga, ar klaidinga.

Svarbu pažymėti, kad mes tikriname niekinę hipotezę, nes yra abejonių dėl jos pagrįstumo. Nepriklausomai nuo to, kokia informacija prieštarauja nurodytai negaliojančiai hipotezei, užfiksuota alternatyvioje hipotezėje (H ₁ ). Pirmiau pateiktiems pavyzdžiams alternatyvi hipotezė bus:

• Studentai įvertina vidurkį, kuris nėra lygus 7.
• Metinė investicinio fondo grąža nėra lygi 8% per metus.

Kitaip tariant, alternatyvi hipotezė yra tiesioginis niekinės hipotezės prieštaravimas.

Kaip ir teismo procese, prisiekusieji prisiima kaltinamojo nekaltumą (niekinė hipotezė). Prokuroras turi įrodyti kitaip (alternatyvi hipotezė). Panašiai tyrėjas turi įrodyti, kad niekinė hipotezė yra teisinga arba klaidinga. Jei prokuroras neįrodo alternatyvios hipotezės, prisiekusieji turi paleisti kaltinamąjį (pagrįstą sprendimą niekine hipoteze). Panašiai, jei tyrėjui nepavyksta įrodyti alternatyvios hipotezės (arba ji tiesiog nieko nedaro), laikoma, kad niekinė hipotezė yra teisinga.

2 veiksmas: nustatykite kriterijus

Sprendimų priėmimo kriterijai turi būti pagrįsti tam tikrais duomenų rinkinių parametrais, ir čia yra vaizdas, kur atsiranda ryšys su normaliu paskirstymu.

Remiantis standartiniu statistikos postulatu apie atrankos pasiskirstymą, „bet kokio n imties dydžio X̅ atrankos pasiskirstymas yra normalus, jei paprastai pasiskirsto populiacija X, iš kurios imamas mėginys.“ Taigi visų kitų galimų imčių tikimybės reiškia, kad galima pasirinkti, paprastai platinami.

Pvz., Nustatykite, ar XYZ akcijų biržoje kotiruojamų akcijų vidutinė dienos grąža maždaug per Naujųjų metų dieną yra didesnė kaip 2%.

H ₀ : niekinė hipotezė: vidurkis = 2%

H ₁ : Alternatyvi hipotezė: vidutinis> 2% (tai mes norime įrodyti)

Paimkite mėginį (tarkime, iš 50 atsargų iš 500) ir apskaičiuokite mėginio vidurkį.

Normaliam pasiskirstymui 95% reikšmių yra per du standartinius populiacijos vidurkio nuokrypius. Taigi šis normalus pavyzdinio duomenų rinkinio pasiskirstymas ir centrinės ribos prielaida leidžia mums nustatyti 5% reikšmingumo lygį. Tai yra prasminga, nes pagal šią prielaidą yra mažesnė nei 5% tikimybė (100–95) gauti nuokrypius, viršijančius du standartinius nuokrypius nuo populiacijos vidurkio. Atsižvelgiant į duomenų rinkinių pobūdį, kiti reikšmingumo lygiai gali būti 1%, 5% arba 10%. Atliekant finansinius skaičiavimus (įskaitant elgesio finansus), 5% yra visuotinai priimta riba. Jei rasime skaičiavimų, peržengiančių įprastus du standartinius nuokrypius, tada turime stiprų iškrypimų atvejį, kad paneigtume nulinę hipotezę.

Grafiškai tai pavaizduota taip:

Aukščiau pateiktame pavyzdyje, jei imties vidurkis yra daug didesnis nei 2% (tarkime, 3, 5%), tada mes atmetame nulinę hipotezę. Priimta alternatyvi hipotezė (vidurkis> 2%), kuri patvirtina, kad vidutinė paros atsargų paros grąža iš tikrųjų viršija 2%.

Tačiau jei imties vidurkis greičiausiai nebus reikšmingai didesnis nei 2% (ir išlieka, tarkime, maždaug 2, 2%), mes negalime NEMOKAMOS hipotezės atmesti. Iššūkis kyla kaip išspręsti tokius artimus atvejus. Norint padaryti išvadą iš atrinktų mėginių ir rezultatų, reikia nustatyti reikšmingumo lygį, kuris leidžia padaryti išvadą apie niekinę hipotezę. Alternatyvi hipotezė leidžia nustatyti reikšmingumo lygį arba „kritinės vertės“ koncepciją, kad būtų galima nuspręsti dėl tokių artimų atvejų.

Pagal vadovėlio standartinį apibrėžimą: „Kritinė vertė yra ribinė vertė, apibrėžianti ribas, kurias peržengus galima gauti mažiau kaip 5% imties vidurkio, jei nuline hipotezė yra teisinga. Imties vidurkiai, gauti viršijant kritinę vertę, priims sprendimą atmesti nulinę hipotezę. “Aukščiau pateiktame pavyzdyje, jei kritinę vertę apibrėžėme kaip 2, 1%, o apskaičiuotas vidurkis yra 2, 2%, tuomet atmetame nulinę hipotezę. Kritinė reikšmė aiškiai nusako priėmimo ar atmetimo ribas.

3 žingsnis: Apskaičiuokite statistiką

Šis žingsnis apima apskaičiuotą reikiamą (-us) skaičių (-ius), vadinamą bandymo statistika (pvz., Vidurkis, z-balas, p-reikšmė ir tt). (Su jais susipažinsime vėliau.)

4 žingsnis: pasiekite išvadą

Pagal apskaičiuotą (-as) vertę (-es) nuspręskite apie niekinę hipotezę. Jei imties vidurkio tikimybė yra mažesnė nei 5%, tuomet reikia atmesti niekinę hipotezę. Priešingu atveju priimkite ir išlaikykite niekinę hipotezę.

Klaidų rūšys

Priimant imtį pagrįstus sprendimus, susijusius su teisingu pritaikymu visai populiacijai, gali būti keturi rezultatai:

„Teisingi“ atvejai yra tie atvejai, kai sprendimai dėl imčių yra iš tikrųjų taikytini visai populiacijai. Klaidų atvejų pasitaiko, kai nusprendžiama išlaikyti (arba atmesti) nulinę hipotezę, pagrįstą imties skaičiavimais, tačiau tas sprendimas galioja ne visai populiacijai. Šie atvejai sudaro 1 tipo (alfa) ir 2 tipo (beta) klaidas, kaip nurodyta aukščiau esančioje lentelėje.

Pasirinkus teisingą kritinę vertę, galima pašalinti 1 tipo alfa klaidas arba apriboti jas iki priimtino diapazono.

Alfa žymi paklaidą reikšmingumo lygyje ir ją nustato tyrėjas. Norint išlaikyti standartinį 5% reikšmingumo ar pasikliautinumo lygį tikimybės skaičiavimams, jis išlaikomas 5%.

Pagal taikomus sprendimų priėmimo kriterijus ir apibrėžimus:

• Šis (alfa) kriterijus paprastai nustatomas kaip 0, 05 (a = 0, 05), ir mes lyginame alfa lygį su p-verte. Kai I tipo klaidos tikimybė yra mažesnė nei 5% (p <0, 05), nusprendžiame atmesti nulinę hipotezę; kitu atveju mes išlaikome niekinę hipotezę. “
• Techninis terminas, naudojamas šiai tikimybei, yra p-reikšmė . Tai apibrėžiama kaip „imties rezultato gavimo tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad niekinėje hipotezėje nurodyta vertė yra teisinga. P-vertė mėginio rezultatui gauti yra lyginama su reikšmingumo lygiu.
• II tipo klaida arba beta klaida apibrėžiama kaip „tikimybė neteisingai išlaikyti niekinę hipotezę, kai ji iš tikrųjų netaikoma visai populiacijai“.

Dar keli pavyzdžiai parodys šį ir kitus skaičiavimus.

1 pavyzdys

Egzistuoja mėnesinė pajamų investavimo schema, kuri žada kintamą mėnesinę grąžą. Investuotojas į tai investuos tik tuo atveju, jei bus užtikrintas vidutinėmis 180 USD mėnesio pajamomis. Jis turi 300 mėnesių grąžos pavyzdį, kurio vidurkis yra 190 USD, o standartinis nuokrypis - 75 USD. Ar jis turėtų investuoti į šią schemą

Nustatykime problemą. Investuotojas investuos į sistemą, jei bus įsitikinęs, kad norės gauti 180 USD vidutinę grąžą.

H ₀ : niekinė hipotezė: vidurkis = 180

H ₁ : Alternatyvi hipotezė: vidutinis> 180

1 metodas: kritinės vertės metodas

Nurodykite mėginio vidurkio kritinę vertę X _L, kuri yra pakankamai didelė, kad paneigtų nulinę hipotezę - ty atmestumėte nulinę hipotezę, jei imties vidurkis> = kritinė vertė X _L

P (identifikuoti I tipo alfa paklaidą) = P (atmesti H _0, atsižvelgiant į tai, kad H ₀ yra tiesa),

Tai būtų galima pasiekti, kai imties vidurkis viršija kritines ribas.

= P (atsižvelgiant į tai, kad H ₀ yra tiesa) = alfa

Grafiškai tai atrodo taip:

Alfa = 0, 05 (ty 5% reikšmingumo lygis), Z _{0, 05} = 1, 645 (iš Z lentelės arba įprasto paskirstymo lentelės)

=> X _L = 180 + 1, 645 * (75 / sqrt (300)) = 187, 12

Kadangi imties vidurkis (190) yra didesnis už kritinę vertę (187, 12), negaliojanti hipotezė atmetama ir daroma išvada, kad vidutinė mėnesinė grąža iš tikrųjų yra didesnė nei 180 USD, todėl investuotojas gali apsvarstyti galimybę investuoti į šią schemą.

2 metodas: Standartizuotos testo statistikos naudojimas

Taip pat galima naudoti standartizuotą vertę z.

Tyrimo statistika, Z = (imties vidurkis - populiacijos vidurkis) / (std-dev / sqrt (mėginių skaičius).

Tada atmetimo regionas tampa toks:

Z = (190 - 180) / (75 / kv. (300)) = 2, 309

Mūsų atmetimo regionas 5% reikšmingumo lygiu yra Z> Z _{0, 05} = 1, 645.

Kadangi Z = 2, 309 yra didesnis nei 1, 645, nulinę hipotezę galima atmesti pateikiant panašią išvadą, kuri buvo paminėta aukščiau.

3 metodas: P vertės apskaičiavimas

Mes siekiame nustatyti P (imties vidurkis> = 190, kai vidurkis = 180).

= P (Z> = (190–180) / (75 / kv. (300))

= P (Z> = 2, 309) = 0, 0084 = 0, 84%

Šioje lentelėje p vertės vertės apskaičiavimui padaryti daroma išvada, kad yra patvirtintų įrodymų, kad vidutinė mėnesinė grąža yra didesnė kaip 180:

2 pavyzdys

Naujas vertybinių popierių makleris (XYZ) teigia, kad jo tarpininkavimo mokesčiai yra mažesni nei jūsų dabartinio akcijų brokerio (ABC). Iš nepriklausomos tyrimų firmos gauti duomenys rodo, kad visų „ABC“ brokerių klientų vidutinis ir vidutinis kursas yra atitinkamai 18 USD ir 6 USD.

Paimta 100 ABC klientų pavyzdžių ir tarpininkavimo mokesčiai apskaičiuojami pagal naujus XYZ brokerio įkainius. Jei imties vidurkis yra 18, 75 USD, o std-dev yra tas pats (6 USD), ar galima daryti išvadą apie vidutinio tarpininkavimo sąskaitos skirtumą tarp ABC ir XYZ brokerio ">

H ₀ : niekinė hipotezė: vidurkis = 18

H ₁ : Alternatyvi hipotezė: vidurkis 18 (tai mes norime įrodyti.)

Atmetimo sritis: Z <= - Z _{2, 5} ir Z> = Z _{2, 5} (darant prielaidą, kad reikšmingumo lygis yra 5%, padalinkite po 2, 5 kiekvienoje pusėje).

Z = (mėginio vidurkis - vidurkis) / (std-dev / sqrt (mėginių skaičius))

= (18, 75–18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Ši apskaičiuota Z vertė yra tarp dviejų ribų, apibrėžtų:

- Z _{2, 5} = -1, 96 ir Z _{2, 5} = 1, 96.

Iš to daroma išvada, kad nepakanka įrodymų, leidžiančių daryti išvadą, kad yra koks nors skirtumas tarp jūsų esamo ir naujojo brokerio įkainių.

Arba p vertė = P (Z1, 25)

= 2 * 0, 1056 = 0, 2112 = 21, 12%, kuris yra didesnis nei 0, 05 arba 5%, todėl daroma ta pati išvada.

Grafiškai tai pavaizduota taip:

Hipotetinio testavimo metodo kritikos taškai:

• Statistinis metodas, pagrįstas prielaidomis
• Kalbant apie klaidas, išsamiai apibūdinant alfa ir beta klaidas
• P vertės aiškinimas gali būti dviprasmiškas, todėl rezultatai gali būti painūs

Esmė

Hipotezės tyrimas leidžia matematiniam modeliui patvirtinti teiginį ar idėją su tam tikru pasitikėjimo lygiu. Tačiau, kaip ir daugumą statistinių priemonių ir modelių, jai taikomi keli apribojimai. Šio modelio naudojimas priimant finansinius sprendimus turėtų būti vertinamas kritiškai, nepamirštant visų priklausomybių. Panašiai analizei taip pat verta ištirti alternatyvius metodus, tokius kaip Bajeso išvada.