Optimizuokite savo portfelį naudodami įprastą paskirstymą

Normalusis pasiskirstymas yra tikimybės pasiskirstymas, kuris simetriškai nubraižo visas jo vertes, o dauguma rezultatų sutampa su tikimybės vidurkiu.

Normalus (varpo kreivės) pasiskirstymas

Duomenų rinkiniai (pvz., 100 žmonių ūgis, 45 klasės mokinių pažymiai ir tt) paprastai turi daug reikšmių tame pačiame duomenų taške arba tame pačiame diapazone. Šis duomenų taškų pasiskirstymas vadinamas normaliu arba varpo kreivės pasiskirstymu.

Pavyzdžiui, 100 asmenų grupėje 10 gali būti žemiau 5 pėdų aukščio, 65 gali stovėti nuo 5 iki 5, 5 pėdų, o 25 gali būti aukščiau 5, 5 pėdų. Šį pasiskirstymą pagal diapazoną galima nubraižyti taip:

Panašiai duomenų taškai, nubraižyti bet kurio duomenų rinkinio grafikuose, gali būti panašūs į skirtingus paskirstymo tipus. Trys dažniausiai pasitaikantys pasiskirstymai kairėje, dešinėje ir išilgai:

Atkreipkite dėmesį į raudoną tendencijos liniją kiekviename iš šių diagramų. Tai maždaug rodo duomenų platinimo tendenciją. Pirmasis, „LEFT Alignment Distribution“, rodo, kad dauguma duomenų taškų patenka į žemesnį diapazoną. Antrajame „RIGHT Alignment Distribution“ grafike didžioji dalis duomenų taškų patenka į aukštesnį diapazono galą, o paskutinis „Jumbled Distribution“ reiškia mišrų duomenų rinkinį be jokių aiškių tendencijų.

Yra daugybė atvejų, kai duomenų taškų pasiskirstymas yra maždaug ties centrine verte, o šis grafikas parodo puikų normalų pasiskirstymą - vienodai subalansuotą iš abiejų pusių, o didžiausias duomenų taškų skaičius yra sutelktas centre.

Čia yra puikus, paprastai paskirstomas duomenų rinkinys:

Centrinė reikšmė čia yra 50 (kurioje yra daugiausiai duomenų taškų), o paskirstymas tolygiai mažėja link kraštutinių galutinių verčių 0 ir 100 (kuriose yra mažiausiai duomenų taškų). Normalus pasiskirstymas yra simetriškas aplink centrinę vertę su puse verčių kiekvienoje pusėje.

Varpo kreivės pasiskirstymas tinka daugybei realaus gyvenimo pavyzdžių:

• Meskite daugybę kartų teisingą monetą (tarkime 100 ar daugiau kartų) ir gausite subalansuotą normalų galvos ir uodegos pasiskirstymą.
• Nubraukite porą sąžiningų kauliukų daug kartų (tarkime, 100 ir daugiau kartų), ir rezultatas bus subalansuotas, normalus pasiskirstymas, nukreiptas aplink skaičių 7 ir tolygiai siaurėjantis link kraštutinių galinių verčių 2 ir 12.
• Didelio dydžio asmenų grupės ūgis ir pažymiai, kuriuos gauna klasei priklausantys žmonės, atitinka normalų pasiskirstymo modelį.
• Finansuose - žurnalo verčių pokyčiai Manoma, kad paprastai pasiskirstys valiutų kursų, kainų indeksų ir akcijų kainos.

Rizika ir grąža

Bet kuri investicija turi du aspektus: riziką ir grąžą. Siekdami kuo didesnės grąžos, investuotojai ieško kuo mažesnės rizikos. Normalus pasiskirstymas šiuos du aspektus apibūdina pagal grąžos vidurkį ir standartinį rizikos nuokrypį. (Norėdami daugiau sužinoti, skaitykite „Vidutinio dispersijos analizė“).

Vidutinė arba laukiama vertė

Konkretus vidutinis akcijos kainos pokytis kasdien gali būti 1, 5% - tai reiškia, kad ji vidutiniškai padidėja 1, 5%. Šią vidutinę vertę arba tikėtiną vertę, reiškiančią grąžą, galima apskaičiuoti apskaičiuojant pakankamai didelio duomenų rinkinio, kuriame yra istoriniai tos akcijos dienos kainų pokyčiai, vidurkį. Kuo didesnis vidurkis, tuo geriau.

Standartinis nuokrypis

Standartinis nuokrypis rodo sumą, kuria vertės vidutiniškai skiriasi nuo vidurkio. Kuo didesnis standartinis nuokrypis, tuo rizikingesnė investicija, nes tai sukelia daugiau netikrumo.

Čia yra grafinis to paties vaizdas:

Taigi grafinis normaliojo pasiskirstymo atvaizdavimas pagal jo vidurkį ir standartinį nuokrypį leidžia atvaizduoti tiek grąžą, tiek riziką aiškiai apibrėžtame diapazone.

Tai padeda žinoti (ir būti užtikrintam užtikrintai), kad jei kai kurie duomenų rinkiniai atitinka įprastą paskirstymo modelį, jų vidurkis leis mums žinoti, ko galima tikėtis, o jo standartinis nuokrypis leis mums žinoti, kad apie 68% verčių bus per 1 standartinį nuokrypį, 95% - per 2 standartinius nuokrypius ir 99% reikšmių pateks į 3 standartinius nuokrypius. Duomenų rinkinys, kurio vidurkis yra 1, 5, o standartinis nuokrypis yra 1, yra daug rizikingesnis nei kitas duomenų rinkinys, kurio vidurkis yra 1, 5, o standartinis nuokrypis yra 0, 1.

Žinodami šias kiekvieno pasirinkto turto (ty akcijų, obligacijų ir fondų) vertes, investuotojas suvoks numatomą grąžą ir riziką.

Nesunku pritaikyti šią koncepciją ir atspindėti vienos akcijos, obligacijos ar fondo riziką ir grąžą. Bet ar tai galima išplėsti apimant kelių rūšių turtą

Asmenys pradeda prekybą pirkdami vieną akciją ar obligaciją arba investuodami į investicinį fondą. Palaipsniui jie linkę padidinti savo akcijų paketą ir nusipirkti daugybę akcijų, fondų ar kito turto, taip sukurdami portfelį. Pagal šį papildomą scenarijų asmenys kuria savo portfelius neturėdami strategijos ar daug iš anksto galvoję. Profesionalūs fondų valdytojai, prekybininkai ir rinkos formuotojai taiko sistemingą metodą, kurdami savo portfelį, naudodami matematinį metodą, vadinamą šiuolaikine portfelio teorija (MPT), pagrįstą „normalaus paskirstymo“ koncepcija.

Šiuolaikinė portfelio teorija

Šiuolaikinė portfelio teorija (MPT) siūlo sistemingą matematinį metodą, kurio tikslas - maksimaliai padidinti portfelio tikėtiną grąžą iš tam tikros portfelio rizikos sumos, pasirenkant įvairaus turto proporcijas. Taip pat ji siūlo sumažinti riziką, susijusią su tam tikru numatomu grąžos lygiu.

Norint pasiekti šį tikslą, turtas, kuris turi būti įtrauktas į portfelį, neturėtų būti pasirenkamas atsižvelgiant tik į individualius jų nuopelnus, o į tai, kaip kiekvienas turtas veiks, palyginti su kitu portfelio turtu.

Trumpai tariant, MPT nusako, kaip geriausiai pasiekti portfelio diversifikaciją siekiant geriausių rezultatų: maksimali grąža priimtinam rizikos lygiui arba minimali rizika norimam grąžos lygiui.

Statybiniai blokai

MPT buvo tokia revoliucinė koncepcija, kai buvo pristatyta, kad jos išradėjai laimėjo Noble premiją. Ši teorija sėkmingai pateikė matematinę formulę, skirtą diversifikuoti investavimą.

Diversifikacija yra rizikos valdymo metodas, kuris pašalina „visus kiaušinius viename krepšelyje“ riziką investuojant į nesusijusias akcijas, sektorius ar turto klases. Geriausia, jei teigiami vieno portfelio turto vertės pokyčiai panaikins neigiamą kito turto vertės pokytį.

Norint paimti vidutinę portfelio, kuriame nėra n skirtingo turto, grąžą, apskaičiuojamas sudedamojo turto grąžos proporcingas derinys.

Atsižvelgiant į statistinių skaičiavimų pobūdį ir normalų pasiskirstymą, visa portfelio grąža (R _p ) apskaičiuojama taip:

Rp = ∑wiRiR_p = \ suma {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Suma (∑), kur w _i yra proporcingas i turto portfelyje svoris, R _i yra _i turto grąža (vidurkis).

Portfelio rizika (arba standartinis nuokrypis) yra įtraukto turto koreliacijų funkcija visoms turto poroms (vienas kito atžvilgiu poroje).

Dėl statistinių skaičiavimų pobūdžio ir normalaus pasiskirstymo bendra portfelio rizika (Std-dev) _p apskaičiuojama taip:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor − cofij)] \ prasideda {suderinta} ir \ kairė (Std-dev \ dešinė) _p = \ \ & sqrt \ kairė [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ kairė (std-dev \ dešinė) _i \ kairė (std-dev \ dešinė) _j \ kairė (cor-cof_ {ij} \ dešinė] \ dešinė] \\ \ pabaiga {suderinta} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] Visiem, kas tajaa, tas ir jaa.

Čia cor-cof yra koreliacijos koeficientas tarp turto i ir j grąžos, o sqrt - kvadratinė šaknis.

Tai rūpinasi santykiniu kiekvieno turto veikimu kito atžvilgiu.

Nors tai atrodo matematiškai sudėtinga, čia taikoma paprasta sąvoka apima ne tik standartinius atskiro turto, bet ir susijusius nuokrypius vienas kito atžvilgiu.

Čia galima rasti puikų Vašingtono universiteto pavyzdį.

Trumpas MPT pavyzdys

Įsivaizduokime kaip mintinį eksperimentą, kad esame portfelio valdytojas, kuriam buvo suteiktas kapitalas ir kuriam pavesta paskirstyti, kiek kapitalo reikia skirti dviem turimiems turtui (A&B), kad tikėtina grąža būtų maksimali ir rizika sumažėtų.

Mes taip pat turime šias vertes:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(„Std-dev“) _b = 0, 115

(„Std-dev“) _ab = –0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Pradėjus nuo vienodo 50–50 paskirstymo kiekvienam A ir B turtui, R _p apskaičiuojamas iki 0, 115, o (Std-dev) _p - iki 0, 323. Paprastas palyginimas rodo, kad šio 2 turto portfelio grąža ir rizika yra pusiaukelėje tarp kiekvieno turto vertės.

Tačiau mūsų tikslas yra pagerinti portfelio grąžą, viršijančią kiekvieno atskiro turto vidurkį, ir sumažinti riziką, kad ji būtų mažesnė už atskiro turto grąžą.

Dabar paimkime 1, 5 turto paskirstymo A turto poziciją ir –0, 5 Turto B kapitalo paskirstymo poziciją. (Neigiamas kapitalo paskirstymas reiškia, kad pritrūksime, kad gautos atsargos ir kapitalas būtų naudojami kito turto, turinčio teigiamą kapitalo paskirstymą, pertekliui pirkti. kitaip tariant, mes sutrumpiname B vertybinius popierius 0, 5 karto kapitalui ir naudojame tuos pinigus, kad nusipirktume A atsargą 1, 5 karto didesniam kapitalui.)

Naudodami šias vertes, gauname R _p kaip 0, 1604 ir (Std-dev) _p kaip 0, 4005.

Panašiai galime ir toliau naudoti skirtingus paskirstymo svorius A ir B turtui ir gauti skirtingus Rp ir (Std-dev) p rinkinius. Pagal norimą grąžą (Rp) galima pasirinkti priimtiniausią rizikos lygį (std-dev) p. Kitu atveju norimam rizikos lygiui galima pasirinkti geriausią prieinamą portfelio grąžą. Bet kuriuo atveju naudojant šį matematinį portfelio teorijos modelį galima pasiekti tikslą sukurti efektyvų portfelį su norima rizikos ir grąžos kombinacija.

Automatizuotų įrankių naudojimas leidžia lengvai ir sklandžiai nustatyti geriausias įmanomas proporcijas, nereikia atlikti ilgų rankinių skaičiavimų.

Efektyvusis pasienio kapitalas, turto vertės nustatymo modelis (CAPM) ir turto kainodara naudojant MPT taip pat vystosi iš to paties įprasto paskirstymo modelio ir yra MPT išplėtimas.

MPT iššūkiai (ir normalus paskirstymas)

Deja, nė vienas matematinis modelis nėra tobulas ir kiekvienas turi trūkumų ir trūkumų.

Pagrindinė prielaida, kad akcijų kurso grąža vyksta normaliai pasiskirstant, yra kartojama. Yra pakankamai empirinių įrodymų apie atvejus, kai vertybės nesutampa su numanomu normaliu pasiskirstymu. Remiantis sudėtingais modeliais remiantis tokiomis prielaidomis, gali būti gauti rezultatai su dideliais nuokrypiais.

Toliau žiūrint į MPT, skaičiavimai ir prielaidos apie koreliacijos koeficientą ir kovariaciją, likusį fiksuotą (remiantis istoriniais duomenimis), nebūtinai turi atitikti numatomas būsimas vertes. Pavyzdžiui, obligacijų ir akcijų rinkos parodė puikią koreliaciją JK rinkoje nuo 2001 iki 2004 m., Kai abiejų aktyvų grąža tuo pačiu metu sumažėjo. Iš tikrųjų atvirkščiai buvo pastebėta per ilgus istorinius laikotarpius iki 2001 m.

Į šį matematinį modelį neatsižvelgiama į investuotojų elgesį. Nepaisoma mokesčių ir operacijų išlaidų, net jei manoma, kad dalijamas kapitalas ir galimybė trumpinti turtą.

Realybėje nė viena iš šių prielaidų gali būti netiksli, o tai reiškia, kad reali finansinė grąža gali labai skirtis nuo numatomo pelno.

Esmė

Matematiniai modeliai suteikia gerą mechanizmą kai kuriems kintamiesiems kiekybiškai įvertinti, naudojant viengubus, atsekamus skaičius. Tačiau dėl prielaidų apribojimų modeliai gali žlugti.

Normalus paskirstymas, kuris sudaro portfelio teorijos pagrindą, nebūtinai gali būti taikomas akcijoms ir kitiems finansinio turto kainų modeliams. Pati portfelio teorija turi daugybę prielaidų, kurias reikėtų kritiškai išnagrinėti prieš priimant svarbius finansinius sprendimus.