Kaip naudotis Monte Karlo modeliavimu su GBM

Vienas iš labiausiai paplitusių rizikos įvertinimo būdų yra Monte Karlo modeliavimas (MCS). Pvz., Norėdami apskaičiuoti portfelio rizikingą vertę (VaR), galime atlikti Monte Karlo modeliavimą, kuriuo bandoma numatyti blogiausią tikėtiną portfelio nuostolį, atsižvelgiant į pasitikėjimo intervalą per nurodytą laiko tarpą (mes visada turime nurodyti du VaR sąlygos: pasitikėjimas ir horizontas).

Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinę MCS, taikomą akcijų kainai, naudojant vieną iš labiausiai paplitusių finansų modelių: geometrinį Brownian judėjimą (GBM). Taigi, nors Monte Karlo modeliavimas gali reikšti skirtingų modeliavimo būdų visumą, čia pradėsime nuo paprasčiausio.

Kur pradėti

Monte Karlo modeliavimas yra bandymas daug kartų nuspėti ateitį. Modeliavimo pabaigoje tūkstančiai ar milijonai „atsitiktinių bandymų“ pateikia rezultatų, kuriuos galima analizuoti, pasiskirstymą. Pagrindiniai žingsniai yra šie:

1. Nurodykite modelį (pvz., GBM)

Šiam straipsniui panaudosime „Geometrinis Brownian Motion“ (GBM), kuris iš esmės yra Markovo procesas. Tai reiškia, kad akcijų kaina eina atsitiktine tvarka ir atitinka (bent jau) silpną efektyvios rinkos hipotezės (EMH) formą - praeities informacija apie kainas jau įtraukta, o kitas kainų judėjimas yra „sąlygiškai nepriklausomas“ nuo praeities kainų pokyčiai.

GBM formulė yra žemiau:

Kur:

• S = Akcijų kaina
• Δ S = akcijų kainos pokytis
• μ = laukiama grąža
• σ = standartinis grąžos nuokrypis
• ϵ = atsitiktinis kintamasis
• Δ t = praėjęs laikotarpis

Jei pertvarkysime formulę, skirtą spręsti tik dėl akcijų kainos pokyčio, pamatysime, kad GBM sako, kad akcijų kainos pokytis yra akcijų kaina „S“, padauginta iš dviejų terminų, esančių žemiau skliaustuose:

Pirmasis terminas yra „dreifas“, o antrasis - „šokas“. Kiekvienam laikotarpiui mūsų modelis daro prielaidą, kad kaina „pakils“ iki numatomos grąžos. Bet dreifas bus sukrėstas (pridėtas arba atimtas) atsitiktinio šoko būdu. Atsitiktinis šokas bus standartinis nuokrypis „s“, padaugintas iš atsitiktinio skaičiaus „e“. Tai paprasčiausias būdas pakeisti standartinį nuokrypį.

Tai yra GBM esmė, kaip parodyta 1 paveiksle. Akcijų kaina vykdoma pagal keletą žingsnių, kai kiekvienas žingsnis yra dreifinis pliusas arba atėmus atsitiktinį šoką (pats tai yra akcijų standartinio nuokrypio funkcija):

figūra 1

2. Sukurkite atsitiktinius bandymus

Apsiginklavę modelio specifikacija, mes imsimės atsitiktinių bandymų. Norėdami iliustruoti, mes panaudojome „Microsoft Excel“ 40 bandymų vykdymui. Atminkite, kad tai nerealiai mažas pavyzdys; dauguma modeliavimų ar „simų“ atlieka bent kelis tūkstančius bandymų.

Tarkime, kad akcijos prasideda nuo nulinės dienos, kai jų kaina yra 10 USD. Čia yra rezultatų diagrama, kai kiekvienas laiko žingsnis (arba intervalas) yra viena diena, o serija trunka dešimt dienų (apibendrinant: keturiasdešimt tyrimų su kasdieniais žingsniais per dešimt dienų):

2 paveikslas: Geometrinis Browniano judesys

Rezultatas yra keturiasdešimt imituotų akcijų kainų 10 dienų pabaigoje. Nei vienas nenukrito žemiau 9 USD, o vienas yra didesnis nei 11 USD.

3. Apdorokite išvestį

Modeliavimas sudarė hipotetinių ateities rezultatų pasiskirstymą. Su išvestimi galėtume padaryti keletą dalykų.

Jei, pavyzdžiui, mes norime įvertinti VaR su 95% pasitikėjimu, tada mums reikia nustatyti tik trisdešimt aštuntą vietą užimančią rezultatą (trečią blogiausią rezultatą). Taip yra todėl, kad 2/40 prilygsta 5%, taigi du blogiausi rezultatai yra žemiausi 5%.

Jei sudėsime iliustruotus rezultatus į šiukšliadėžes (kiekviena šiukšliadėžė yra trečdalis 1 USD, taigi trys dėžės apima intervalą nuo 9 USD iki 10 USD), gausime šią histogramą:

3 pav

Atminkite, kad mūsų GBM modelis įgyja normalumo; kainos grąža paprastai paskirstoma su tikėtina grąža (vidutine) „m“ ir standartiniu nuokrypiu „s“. Įdomu tai, kad mūsų histograma neatrodo normali. Tiesą sakant, atlikus daugiau bandymų, jis nebus linkęs į normalumą. Vietoj to, jis bus linkęs į lognorminį pasiskirstymą: staigus kritimas į kairę nuo vidurkio ir labai pasvirusi „ilga uodega“ į dešinę nuo vidurkio.

Tai dažnai gali sukelti painiavą pirmo kurso studentams:

• Paprastai grąžinama kaina.
• Kainų lygiai paprastai paskirstomi pagal logą.

Pagalvokite apie tai taip: akcijos gali grįžti į viršų arba žemyn 5% arba 10%, tačiau po tam tikro laiko akcijų kaina negali būti neigiama. Be to, kainų kilimas aukštyn kojomis turi dar didesnį poveikį, o mažėjant žemyn - sumažėja bazė: prarandate 10%, o kitą kartą prarasite mažiau.

Čia yra loginių pokyčių, pateiktų remiantis mūsų iliustruotomis prielaidomis, schema (pvz., Pradinė kaina 10 USD):

4 pav

Esmė

Montekarlo modeliavimas taiko pasirinktą modelį (nurodantį instrumento elgesį) dideliam atsitiktinių bandymų rinkiniui, bandant sukurti tikėtiną galimų būsimų rezultatų rinkinį. Kalbant apie akcijų kainų modeliavimą, labiausiai paplitęs modelis yra geometrinis Brauno judėjimas (GBM). GBM daro prielaidą, kad nuolatinį dreifą lydi atsitiktiniai smūgiai. Nors laikotarpio grąža pagal GBM paprastai yra paskirstoma, vėlesni kelių laikotarpių (pavyzdžiui, dešimt dienų) kainų lygiai pasiskirsto neįprastai.