Binominio opciono kainodaros modelio supratimas

Susitarti dėl tikslios bet kokio parduodamo turto kainos yra sudėtinga - štai kodėl akcijų kainos nuolat keičiasi. Realybėje įmonės vargu ar keičia savo vertes kiekvieną dieną, tačiau jų akcijų kainos ir vertinimas keičiasi beveik kas sekundę. Dėl to, kad sunku susitarti dėl teisingo bet kurio parduodamo turto įkainojimo, atsiranda trumpalaikės arbitražo galimybės.

Tačiau daug sėkmingai investuojančių klausimų kyla dėl paprasčiausio šių dienų įvertinimo - kokia yra teisinga dabartinė kaina laukiamam būsimam išmokėjimui ateityje?

„Binominal“ parinkčių įvertinimas

Konkurencingoje rinkoje, kad būtų išvengta arbitražo galimybių, turtas, kurio vienodos išmokos struktūros, turi būti tokios pačios. Pasirinkimo galimybių vertinimas buvo sudėtingas uždavinys, o kainų skirtumai lemia arbitražo galimybes. „Black-Scholes“ išlieka vienas iš populiariausių modelių, naudojamų kainų nustatymo galimybėms, tačiau turi apribojimų.

Dviejų dalių opcionų kainodaros modelis yra dar vienas populiarus metodas, naudojamas kainų nustatymui.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad tam tikroje akcijoje yra pirkimo pasirinkimo sandoris, kurio dabartinė rinkos kaina yra 100 USD. „At-the-money“ (ATM) pasirinkimo sandorio pradinė kaina yra 100 USD, pasibaigiant vieneriems metams. Yra du prekybininkai, Peteris ir Paula, kurie abu sutinka, kad akcijų kaina per metus padidės iki 110 USD arba sumažės iki 90 USD.

Jie susitaria dėl numatomo kainų lygio per nustatytą vienerių metų laikotarpį, tačiau nesutaria dėl padidėjimo ar žemėjimo tikimybės. Peteris mano, kad tikimybė, kad akcijų kursas pakils iki 110 USD, yra 60%, o Paula tiki, kad ji yra 40%.

Remiantis tuo, kas norėtų mokėti daugiau kainos už pirkimo pasirinkimo sandorį? Galbūt Petras, nes jis tikisi didelės judesio aukštyn tikimybės.

„Binominal“ parinkčių skaičiavimai

Du turtai, nuo kurių priklauso vertinimas, yra pirkimo pasirinkimo sandoris ir bazinės atsargos. Dalyviai susitarė, kad pagrindinė akcijų kaina per metus gali pakisti nuo 100 USD iki 110 USD arba 90 USD, o kitų kainų pokyčių nėra.

Pasaulyje, kuriame nėra arbitražo, jei turite sukurti šių dviejų aktyvų, pirkimo pasirinkimo sandorio ir bazinių akcijų portfelį, kad nepriklausomai nuo to, kur eina pagrindinė kaina - 110 USD arba 90 USD -, grynoji portfelio grąža visada išlieka ta pati. . Tarkime, kad, norėdami sukurti šį portfelį, perkate „d“ pagrindinių ir trumpalaikių vieno pirkimo pasirinkimo sandorių akcijas.

Jei kaina bus 110 USD, jūsų akcijos bus vertos 110 USD * d, o jūs prarasite 10 USD dėl trumpo skambučio išmokėjimo. Grynoji jūsų portfelio vertė bus (110d - 10).

Jei kaina nukris iki 90 USD, jūsų akcijų vertė bus 90 USD * d, o pasirinkimo sandoris neteks galios. Grynoji jūsų portfelio vertė bus (90d).

Jei norite, kad jūsų portfelio vertė išliktų ta pati, nepaisant to, kur eina pagrindinė akcijų kaina, tada jūsų portfelio vertė turėtų išlikti ta pati:

h (d) −m = l (d) kur: h = didžiausia potenciali pagrindinė kaina = pagrindinių akcijų skaičius m = pinigai, prarasti dėl trumpo skambučio išmokėjimo = žemiausia potenciali pagrindinė kaina \ pradžia {suderinta} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {kur:} \\ & h = \ tekstas {Didžiausia galima pagrindinė kaina} \\ & d = \ tekstas {Pagrindinių akcijų skaičius} \\ & m = \ tekstas {Pinigai, prarasti dėl trumpo skambučio išmokėjimo} \\ & l = \ tekstas {Mažiausia potenciali pagrindinė kaina} \\ \ pabaiga {suderinta} h (d) −m = l (d) kur: h = didžiausia potenciali bazinė kaina = pagrindinių akcijų skaičius m = trumpo skambučio metu prarasti pinigai payoffl = mažiausia galima pagrindinė kaina

Taigi, jei perkate pusę akcijos, darant prielaidą, kad bus galima įsigyti dalimis, jums pavyks sukurti portfelį taip, kad per nurodytą vienerių metų laikotarpį jo vertė išliktų ta pati.

110d − 10 = 90dd = 12 \ pradžia {suderinta} ir 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ pabaiga {suderinta} 110d − 10 = 90dd = 21

Ši portfelio vertė, žymima (90d) arba (110d - 10) = 45, yra vieneri metai žemiau linijos. Norėdami apskaičiuoti dabartinę vertę, ją galima diskontuoti pagal nerizikingą grąžos normą (darant prielaidą, kad 5%).

Dabartinė vertė = 90d × e (−5% × 1 metai) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ prasideda {suderinta} \ tekstas {dabartinė vertė} & = 90d \ kartų e ^ {(-5 \% \ kartų 1 \ tekstas {Metai})} \\ & = 45 \ kartų 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ pabaiga {suderinta} Dabartinė vertė = 90d × e (−5% × 1 metai) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Kadangi šiuo metu portfelį sudaro ½ bazinių akcijų dalies (kurių rinkos kaina yra 100 USD) ir vieno trumpo pirkimo, jis turėtų būti lygus dabartinei vertei.

12 × 100−1 × Skambučio kaina = 42, 85 USD. Skambučio kaina = 7, 14 USD, ty šios dienos skambučio kaina \ prasideda {suderinta} ir \ frac {1} {2} \ kartų 100 - 1 \ kartų \ tekstas {Skambučio kaina} = \ 422, 85 $ \\ & \ tekstas {Skambučio kaina} = \ 7, 14 USD \ tekstas {, ty skambučio kaina šiandien} \\ \ pabaiga {suderinta} 21 × 100−1 × Skambučio kaina = 42, 85 USD. Skambučio kaina = 7, 14 USD, ty skambučio kaina šiandien

Kadangi tai grindžiama prielaida, kad portfelio vertė išlieka ta pati, neatsižvelgiant į tai, kokiu keliu bazinė kaina eina, judėjimo aukštyn ar žemyn tikimybė neturi jokios reikšmės. Portfelis išlieka nerizikingas, nepaisant pagrindinių kainų pokyčių.

Abiem atvejais (manoma, kad padidės iki 110 USD, o žemyn - iki 90 USD), jūsų portfelis yra neutralus rizikos atžvilgiu ir uždirba nerizikingą grąžos normą.

Taigi abu prekybininkai, Peteris ir Paula, būtų pasirengę mokėti tą patį 7, 14 USD už šį pirkimo pasirinkimo sandorį, nepaisant skirtingo suvokimo apie kilimo tikimybę (60% ir 40%). Jų individualiai suvokiamos tikimybės neturi reikšmės vertinant pasirinkimą.

Darant prielaidą, kad svarbios individualios tikimybės, galėjo atsirasti arbitražo galimybės. Realiame pasaulyje tokios arbitražo galimybės egzistuoja su nedideliais kainų skirtumais ir per trumpą laiką išnyksta.

Bet kur yra visų šių skaičiavimų labai padidėjęs nepastovumas, svarbus ir jautrus veiksnys, turintis įtakos pasirinkimo sandorių kainodarai?

Į nepastovumą jau įtrauktas problemos apibrėžimo pobūdis. Darant prielaidą, kad yra dvi (ir tik dvi - taigi pavadinimas „dvinaris“) kainų lygio būsenos (110 USD ir 90 USD), kintamumas yra numanomas šioje prielaidoje ir įtraukiamas automatiškai (10% bet kokiu atveju šiame pavyzdyje).

Juodieji-Scholes

Bet ar šis požiūris yra teisingas ir suderinamas su dažniausiai naudojama „Black-Scholes“ kainodara? Parinkčių skaičiuoklės rezultatai (sutinkamai su OIC) tiksliai atitinka apskaičiuotą vertę:

Deja, tikrasis pasaulis nėra toks paprastas, kaip „tik dvi valstybės“. Akcijos gali pasiekti kelis kainų lygius iki laiko pabaigos.

Ar įmanoma visus šiuos kelis lygius įtraukti į binominį kainų nustatymo modelį, kuris ribojamas tik dviem lygiais ">

Paprasta matematika

Norėdami apibendrinti šią problemą ir jos sprendimą:

„X“ yra dabartinė akcijų rinkos kaina, o „X * u“ ir „X * d“ yra būsimos kainos „t“ aukštyn ir žemyn judantis metais vėliau. „U“ koeficientas bus didesnis nei vienas, nes tai rodo judesį aukštyn, o „d“ bus tarp nulio ir vieno. Aukščiau pateiktame pavyzdyje u = 1, 1 ir d = 0, 9.

Pirkimo pasirinkimo sandorio išmokos yra „P _up “ ir „P _dn “, jei judama pasibaigus jų galiojimo laikui.

Jei sukursite šiandien įsigytų „s“ akcijų paketą ir trumpą vieno pirkimo pasirinkimo sandorį, tada „t“ po laiko:

VUM = s × X × u − „Pupwhere“: VUM = portfelio vertė perkeliant į viršų \ prasideda {suderinta} ir \ tekstas {VUM} = s \ kartus X \ kartų u - P_ \ tekstas {aukštyn} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {VUM} = \ tekstas {Portfelio vertė perkeliant į viršų} \\ \ pabaiga {suderinta} VUM = s × X × u − Pup, kur: VUM = Portfelio vertė kilus aukštyn

VDM = s × X × d − Downdown: VDM = Portfelio vertė, kai judama žemyn \ pradėti {suderinta} ir \ tekstas {VDM} = s \ kartus X \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {VDM} = \ tekstas {Portfelio vertė, kai judama žemyn} \\ \ pabaiga {suderinta} VDM = s × X × d – Sumažinti, kur: VDM = Portfelio vertė mažėjimo atveju

Dėl panašaus įvertinimo abiem atvejais perkelkite kainą:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Mažylis = s × X × d – Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Perkamų akcijų skaičius = nerizikingas portfelis \ prasideda {suderinta} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ kartų (u - d)} \\ & = \ text {Akcijų, kurias reikia nusipirkti už} \\ & \ fantomas {=} \ tekstas {nerizikingas portfelis} \\ \ pabaiga {suderinta}, skaičius s = X × (u − d) Pup − Down - akcijų, kurias reikia įsigyti = nerizikingas portfelis, skaičius

Būsimoji portfelio vertė „t“ metų pabaigoje bus:

Aukštyn perkeliant = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ Pradėti {suderinti} \ tekstas {Jei judėti aukštyn} & = s \ kartus X \ kartų u - P_ \ tekstas {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end { Aukštyn Perkelti = s × X × u − Pup = = − dPup −P Down × u − Pup

Perjungimo žemyn atveju = s × X × d – Pdown = Pup − Pdownu – d × d – Pdown \ prasideda {suderinta} \ tekstas {Judėjimo žemyn atveju} ir = s \ kartų X \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \\ & = \ frakas {P_ \ tekstas {aukštyn} - P_ \ tekstas {žemyn}} {u - d} \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \\ \ pabaiga {suderinta} Jei Judėti žemyn = s × X × d – Pdown = u – dPup – žemyn × d – Down

Dabartinę vertę galima gauti diskontuojant ją su nerizikinga grąžos norma:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup], kur: PV = dabartinės dienos vertės koeficientas = sugrįžtančių asmenų skaičius = laikas, metais \ prasideda {suderinta} ir \ tekstas {PV} = e (-rt) \ kartų \ liko [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { kur:} \\ & \ tekstas {PV} = \ tekstas {dabartinės dienos vertė} \\ & r = \ tekstas {grąžos rodiklis} \\ & t = \ tekstas {laikas, metais} \\ \ pabaiga {suderinta} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup], kur: PV = dabartinės dienos vertės koeficientas = sugrįžtančių asmenų skaičius = laikas, metais

Tai turėtų atitikti „s“ akcijų portfelio turėjimą X kaina, o trumpojo skambučio vertė „c“ (dabartinis (s * X - c) turėjimas turėtų prilygti šiam skaičiavimui.) „C“ sprendimas pagaliau suteikia kaip:

Pastaba: jei skambučio įmoka trumpinama, tai turėtų būti portfelio papildymas, o ne atimtis.

c = e (−rt) u − d × [(e (− t) − d) × Pup + (u − e (− r)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ kartų [(e (-rt) - d) \ kartų P_ \ tekstas {aukštyn} + (u - e (-rt)) \ kartų P_ \ tekstas {žemyn}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × šuniukas + (u − e (− t)) × žemyn]

Kitas būdas lygtį užrašyti yra ją pertvarkant:

Paimkite „q“ kaip:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Tada lygtis tampa:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Down) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ tekstas {žemyn}) c = e (−rt) × (q × šuniukas + (1 − q) × žeminimas)

Lygties pertvarkymas pagal „q“ suteikė naują perspektyvą.

Dabar „q“ galite suprasti kaip pagrindinės priemonės judėjimo aukštyn tikimybę (nes „q“ yra susijęs su „P _up“ ir „1-q“ yra susijęs su P _dn ). Apskritai, lygtis parodo dabartinės dienos pasirinkimo kainą, diskontuotą jos išmokėjimo vertę pasibaigus jo galiojimo laikui.

Šis „Q“ yra skirtingas

Kuo ši „q“ tikimybė skiriasi nuo pagrindinių priemonių judėjimo aukštyn arba žemyn tikimybės ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = vertybinių popierių kainos vertė tuo metu t \ prasideda {suderinta} ir \ tekstas {VSP} = q \ kartų X \ kartų u + (1 - q) \ kartų X \ kartų d \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {VSP} = \ tekstas {Akcijų kainos vertė tuo metu} t \\ \ pabaiga {suderinta} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = akcijų kainos vertė t metu

Pakeitus „q“ reikšmę ir pertvarkius, akcijų kaina „t“ metu yra:

Akcijų kaina = e (rt) × X \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {Akcijų kaina} = e (rt) \ kartų X \\ \ pabaiga {suderinta} Akcijų kaina = e (rt) × X

Šiame numanomame dviejų valstybių pasaulyje akcijų kaina paprasčiausiai kyla pagal nerizikingą grąžos normą, lygiai taip pat kaip ir nerizikingą turtą, taigi ji išlieka nepriklausoma nuo jokios rizikos. Investuotojai yra neabejingi rizikai pagal šį modelį, taigi tai yra rizikos požiūriu neutralus modelis.

Tikimybė „q“ ir „(1-q)“ yra žinomos kaip rizikos atžvilgiu neutralios tikimybės, o vertinimo metodas yra žinomas kaip rizikos neutralus vertinimo modelis.

Pavyzdiniame scenarijuje yra vienas svarbus reikalavimas - būsimos išmokų struktūros reikia tiksliai (110 ir 90 USD lygis). Realiame gyvenime toks aiškumas apie žingsniais pagrįstą kainų lygį yra neįmanomas; kaina greičiau juda atsitiktine tvarka ir gali atsiskaityti keliais lygiais.

Norėdami dar labiau išplėsti pavyzdį, tarkime, kad galimi dviejų pakopų kainų lygiai. Mes žinome antrojo etapo galutinius pelnus ir turime įvertinti variantą šiandien (pradiniame etape):

Tarpinis pirmo žingsnio vertinimas (t = 1) gali būti atliktas naudojant galutinius išmokėjimus antrame etape (t = 2), tada naudojant šiuos apskaičiuotus pirmojo žingsnio įvertinimus (t = 1), šios dienos vertinimas (t = 0) galima pasiekti atlikus šiuos skaičiavimus.

Norint gauti opciono kainodarą antruoju numeriu, naudojami keturi ir penki išmokėjimai. Norėdami gauti kainą trečiajam numeriui, naudojami penki ir šeši išmokėjimai. Galiausiai, norint apskaičiuoti kainą Nr. 1, naudojami apskaičiuoti dviejų ir trijų išmokų dydžiai.

Atminkite, kad šiame pavyzdyje daromas vienodas veiksmas judant aukštyn (ir žemyn) abiem žingsniais - u ir d taikomi sudėtingai.

Darbinis pavyzdys

Tarkime, kad pardavimo pasirinkimo sandoris, kurio pradinė kaina yra 110 USD, šiuo metu prekiauja 100 USD ir baigiasi vieneriais metais. Metinė nerizikinga norma yra 5%. Tikimasi, kad kaina padidės 20%, o kas šešis mėnesius - 15%.

Čia u = 1, 2 ir d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

naudojant aukščiau išvestą formulę:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

gauname q = 0, 35802832

pardavimo pasirinkimo sandorio vertė 2 punkte,

p2 = e (−rt) × (p × mažylis + (1 − q) Pupdn), kur: p = pardavimo pasirinkimo sandorio kaina \ prasideda {suderinta} ir p_2 = e (-rt) \ kartų (p \ kartų P_ \ tekstas {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {kur:} \\ & p = \ text {pardavimo pasirinkimo sandorio kaina} \\ \ pabaiga {suderinta} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), kur: p = pardavimo pasirinkimo sandorio kaina

Esant „P _upup“ sąlygai, pagrindinė vertė bus = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, todėl P _upup = nulis

Esant P _atnaujinimo sąlygai, pagrindinė vertė bus = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, todėl P _updn = 8 USD.

Esant P _dndn sąlygai, bazinė vertė bus = 100 * 0, 85 * 0, 85 = _{72, 25} USD, todėl P _dndn = _{37, 75} USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Panašiai, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ kartų (q \ kartų p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Taigi pardavimo pasirinkimo sandorio vertė, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Panašiai, dvinariai modeliai leidžia pertraukti visą parinkties trukmę, kad būtų dar labiau patikslinti keli žingsniai ir lygiai. Naudodamiesi kompiuterinėmis programomis ar skaičiuoklėmis, galite žingsnį atgal žingsnis atgal, kad gautumėte dabartinę norimos parinkties vertę.

Kitas pavyzdys

Tarkime, kad europinio tipo pasirinkimo sandoris baigsis devyniems mėnesiams, kurio pradinė kaina yra 12 USD, o dabartinė bazinė kaina yra 10 USD. Tarkime, kad nerizikinga yra 5% norma visais laikotarpiais. Tarkime, kas tris mėnesius pagrindinė kaina gali judėti 20% aukštyn arba žemyn, suteikiant mums u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 ir trijų pakopų dvinarį medį.

Raudona rodo pagrindines kainas, o mėlyna - pardavimo pasirinkimo sandorių išmokėjimą.

Rizikos atžvilgiu neutrali tikimybė „q“ apskaičiuojama iki 0, 531446.

Naudojant aukščiau nurodytą „q“ vertę ir išmokėjimo vertes, kai t = devyni mėnesiai, atitinkamos vertės, kai t = šeši mėnesiai, apskaičiuojamos taip:

Be to, naudojant šias apskaičiuotas vertes, kai t = 6, t = 3, tada t = 0 yra:

Tai reiškia, kad dabartinė pardavimo pasirinkimo sandorio vertė yra 2, 18 USD, beveik tokia pati, kaip ir skaičiavimams naudojant „Black-Scholes“ modelį (2, 30 USD).

Esmė

Nors naudojant kompiuterines programas šiuos intensyvius skaičiavimus bus lengva padaryti, būsimų kainų numatymas išlieka pagrindiniu binominių modelių, susijusių su opcionų kainodara, apribojimu. Kuo tikslesni laiko intervalai, tuo sunkiau yra tiksliai prognozuoti išmokas kiekvieno laikotarpio pabaigoje.

Tačiau lankstumas įtraukti pokyčius, kurių tikimasi skirtingais laikotarpiais, yra pliusas, todėl jis tinkamas amerikiečių pasirinkimo sandorių kainai nustatyti, įskaitant išankstinį vertinimą.

Vertės, apskaičiuotos naudojant binominį modelį, labai artimos vertėms, apskaičiuotoms iš kitų dažniausiai naudojamų modelių, tokių kaip „Black-Scholes“, o tai rodo binominių modelių naudingumą ir tikslumą nustatant opcionus. Binominiai kainų nustatymo modeliai gali būti sukurti atsižvelgiant į prekybininko pageidavimus ir gali būti alternatyva „Black-Scholes“.