Nuolatinės sudėtinės palūkanos

Sudėtinės palūkanos yra palūkanos, apskaičiuojamos už pradinę pagrindinę sumą, taip pat nuo ankstesnių indėlių ar paskolų laikotarpių sukauptų palūkanų. Sudėtinių palūkanų poveikis priklauso nuo dažnio.

Tarkime, kad 12% metinė palūkanų norma. Jei metus pradedame nuo 100 USD, o sudėtinius - tik vieną kartą, metų pabaigoje pagrindinė suma padidėja iki 112 USD (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Jei užuot skaičiavę kiekvieną mėnesį 1%, metų pabaigoje mes sukursime daugiau nei 112 USD. Tai yra, 100 USD x 1, 01 ^ 12, esant 112, 68 USD. (Tai aukštesnė, nes mes sudarinėjame dažniau.)

Nepertraukiamai jungiantis dažniausiai gaunamas junginys. Nepertraukiamas sudėjimas yra matematinė riba, kurią gali pasiekti jungtinės palūkanos. Tai yra kraštutinis jungimo atvejis, nes didžioji dalis palūkanų kaupiama kas mėnesį, kas ketvirtį ar pusmetį.

Pusmečio grąžos normos

Pirmiausia pažvelkime į galimai painų susitarimą. Obligacijų rinkoje mes kalbame apie obligacijų ekvivalento pajamingumą (arba obligacijų ekvivalento pagrindą). Tai reiškia, kad jei obligacijų pajamingumas yra 6% kas pusmetį, obligacijų ekvivalento išeiga yra 12%.

figūra 1

Pusmečio pajamingumas yra tiesiog dvigubai didesnis. Tai gali sukelti painiavą, nes efektyvus 12% obligacijų ekvivalento pajamingumo obligacijų pajamingumas yra 12, 36% (ty 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Pusmečio pajamingumo dvigubinimas yra tik obligacijų įvardijimo tvarka. Todėl, jei skaitome apie 8% obligaciją, susidedančią iš pusmečio, mes manome, kad tai reiškia 4% pusmečio pajamingumą.

Ketvirčio, ​​mėnesio ir dienos grąžos normos

Dabar aptarkime aukštesnius dažnius. Mes vis dar manome, kad metinė rinkos palūkanų norma yra 12%. Remiantis obligacijų įvardijimo tradicijomis, tai reiškia 6 proc. Dabar galime išreikšti ketvirtinę sudėtinę normą kaip rinkos palūkanų normos funkciją.

2 pav

Atsižvelgiant į metinę rinkos normą ( r), ketvirtinė sudėtinė norma ( r _q ) apskaičiuojama taip:

Taigi, mūsų pavyzdyje, kai metinė rinkos norma yra 12%, ketvirtinė sudėtinė palūkanų norma yra 11, 825%:

3 pav

Panaši logika taikoma ir mėnesio sudarymui. Mėnesinė sudėtinė norma ( r _m ) čia pateikiama kaip metinės rinkos palūkanų normos ( r) funkcija:

Dienos sudėtinė norma ( d) kaip rinkos palūkanų normos ( r) funkcija yra apskaičiuojama taip:

Kaip veikia nuolatinis derinimas

4 pav

Jei padidiname junginio dažnį iki jo ribos, mes sudarome nuolat. Nors tai gali būti nepraktiška, nuolat didėjanti palūkanų norma siūlo nepaprastai patogias savybes. Pasirodo, kad nuolat didinamą palūkanų normą suteikia:

Ln () yra natūralus rąstas, todėl mūsų pavyzdyje nuolat sudedama norma yra:

Mes patenkame į tą pačią vietą paėmus natūralų šio santykio žurnalą: galutinę vertę padalytą iš pradinės vertės.

Pastaroji yra įprasta skaičiuojant nuolat sudedamas atsargas. Pvz., Jei atsargos šokteli nuo 10 USD vieną dieną iki 11 USD kitą dieną, nuolat kaupiama dienos grąža gaunama:

Kas yra nuostabu dėl nuolat sudėtų normų (arba grąžos), kurias pažymėsime r _c ">

Atminkite, kad e yra eksponentinė funkcija. Pvz., Jei mes pradedame nuo 100 USD ir nuolat kaupiame 8% per trejus metus, galutinį turtą gauna:

Diskontavimas iki dabartinės vertės (PV) yra tik sudedamas atvirkščiai, todėl būsimos vertės (F) dabartinė vertė, pridedama nuolat ( r _c ), apskaičiuojama taip:

Pvz., Jei per trejus metus gausite 100 USD pagal 6% nuolatinį kursą, jo dabartinę vertę apskaičiuoja:

Keitimasis keliais laikotarpiais

Patogi nuolat sudėtinių grąžų savybė yra ta, kad ji keičiasi per kelis laikotarpius. Jei pirmojo laikotarpio grąža yra 4%, o antrojo laikotarpio grąža yra 3%, tada dviejų laikotarpių grąža yra 7%. Apsvarstykite, ar metus galime pradėti nuo 100 USD, o tai padidėja iki 120 USD pirmųjų metų pabaigoje, po to 150 USD antrųjų metų pabaigoje. Nuolat kaupiama grąža yra atitinkamai 18, 23% ir 22, 31%.

Jei tiesiog sudėsime juos, gausime 40, 55%. Tai yra dviejų laikotarpių grąža:

Techniškai kalbant, nuolatinis grąžinimas atitinka laiką. Laiko pastovumas yra techninis rizikos vertės (VAR) reikalavimas. Tai reiškia, kad jei vieno laikotarpio grąža yra normaliai paskirstomas atsitiktinis kintamasis, mes norime, kad kelių laikotarpių atsitiktiniai kintamieji taip pat paprastai būtų paskirstomi. Be to, paprastai paskirstoma periodinė nepertraukiamai kaupiama grąža (skirtingai nuo, tarkime, paprasto grąžos procento).

Esmė

Metines palūkanų normas galime pertvarkyti į pusmečio, ketvirčio, ​​mėnesio arba dienos palūkanų normas (arba grąžos normas). Dažniausias junginys yra nenutrūkstamas jungimas, kuriam reikia naudoti natūralųjį rąstą ir eksponentinę funkciją, kuri dažniausiai naudojama finansuose dėl savo pageidaujamų savybių - ji lengvai keičiasi per kelis laikotarpius ir yra suderinama su laiku.