Suprasti pinigų laiko vertę

Sveikinu !!! Jūs laimėjote piniginį prizą! Turite dvi mokėjimo galimybes: A: gaukite 10 000 USD dabar arba B: gaukite 10 000 USD per trejus metus. Kurį variantą pasirinktumėte?

Kokia yra pinigų laiko vertė?

Jei esate panašus į daugumą žmonių, dabar pasirinktumėte gauti 10 000 USD. Juk treji metai ilgai laukti. Kodėl bet kuris racionalus asmuo galėtų atidėti mokėjimą į ateitį, kai dabar galėtų turėti tokią pat pinigų sumą? Daugelio iš mūsų pinigų paėmimas dabartyje yra tiesiog instinktyvus. Taigi paprasčiausia pinigų laiko vertė rodo, kad viskas yra lygu, atrodo, kad geriau turėti pinigų dabar, o ne vėliau.

Bet kodėl taip yra? 100 USD vekselis turi tokią pačią vertę kaip 100 USD vekselis vienerius metus nuo šiol, ar ne? Tiesą sakant, nors sąskaita yra ta pati, su pinigais galite padaryti daug daugiau, jei juos turite dabar, nes laikui bėgant galite uždirbti daugiau palūkanų už savo pinigus.

Grįžkite į mūsų pavyzdį: Šiandien gaudamas 10 000 USD, esate pasirengęs padidinti savo būsimą pinigų vertę investuodamas ir per tam tikrą laiką sukaupdamas palūkanas. Jei pasirinkote B variantą, neturite laiko savo pusėje, o mokėjimas, gautas per trejus metus, bus jūsų vertė ateityje. Norėdami iliustruoti, pateikėme laiko juostą:

Jei pasirinksite A variantą, jūsų būsima vertė bus 10 000 USD ir bet kokios palūkanos, įgytos per trejus metus. Kita vertus, būsimoji B varianto vertė būtų tik 10 000 USD. Taigi, kaip tiksliai apskaičiuoti, kiek daugiau verta A varianto, palyginti su B variantu? Pažiūrėkime.

Ateities vertės pagrindai

Jei pasirinksite A variantą ir investuosite visą sumą pagal paprastą 4, 5% metinę normą, būsimoji jūsų investicijų vertė pirmųjų metų pabaigoje yra 10 450 USD. Gauname šią sumą 10 000 USD pagrindinę sumą padauginę iš 4, 5% palūkanų normos ir pridėdami gautas palūkanas prie pagrindinės sumos:

10 000 USD × 0, 045 = 450 USD \ prasideda {suderinta} ir \ 10 000 USD \ kartų 0, 045 = \ USD 450 \\ \ pabaiga {suderinta} 10 000 USD × 0, 045 = 450 USD

450 USD + 10 000 USD = 10 450 USD \ prasideda {suderinta} & \ 450 USD + \ 10 000 = = 10 450 USD \\ \ pabaiga {suderinta} 450 USD + 10 000 USD = 10 450 USD

Taip pat galite apskaičiuoti bendrą vienerių metų investicijų sumą, paprasčiausiai manipuliuodami aukščiau pateikta lygtimi:

OE = (10 000 USD = 0, 045) + 10 000 USD = 10 450 USD bet kur: OE = Originali lygtis \ prasideda {suderinta} ir \ tekstas {OE} = (\ 10000 USD \ kartų 0, 045) + \ 10 000 = = 10 450 USD \\ & \ textbf {kur :} \\ & \ tekstas {OE} = \ tekstas {Originali lygtis} \\ \ pabaiga {suderinta} OE = (10 000 USD × 0, 045) + 10 000 USD = 10 450 USD kur: OE = Originali lygtis

Manipuliacija = 10 000 USD × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 USD \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {Manipuliacija} = \ 10 000 USD \ kartų [(1 \ 0, 045) + 1] = \ 10 450 USD \\ \ pabaiga { suderinta} manipuliacija = 10 000 USD × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 USD

Galutinė lygtis = 10 000 USD × (0, 045 + 1) = 10 450 USD \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {galutinė lygtis} = \ 10 000 USD \ kartų (0, 045 + 1) = \ $ 10, 450 \\ \ pabaiga {suderinta} galutinė lygtis = 10 000 USD × (0, 045 + 1) = 10 450 USD

Aukščiau manipuliuota lygtis paprasčiausiai pašalina panašų kintamąjį 10 000 USD (pagrindinę sumą), padalijant visą pradinę lygtį iš 10 000 USD.

Jei pirmųjų metų pabaigoje jūsų investicinėje sąskaitoje liko 10 450 USD, jie bus palikti nepakeisti ir kitus metus investuosite 4, 5%, kiek jų turėtumėte? Norėdami tai apskaičiuoti, paimtumėte 10 450 USD ir vėl padaugintumėte iš 1, 045 (0, 045 +1). Dvejų metų pabaigoje jūs turėtumėte 10 920, 25 USD.

Ateities vertės apskaičiavimas

Taigi aukščiau pateiktas skaičiavimas yra lygus šiai lygčiai:

Ateities vertė = 10 000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {Ateities vertė} = \ 10 000 USD \ kartų (1 + 0, 045) \ kartų (1 + 0, 045) \\ \ pabaiga {suderinta} Ateities vertė = 10 000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Pagalvokite apie matematikos klasę ir apie eksponentų taisyklę, kurioje teigiama, kad panašių terminų daugyba yra lygi jų eksponentų sudėjimui. Aukščiau pateiktoje lygtyje du panašūs terminai yra (1+ 0, 045), o kiekvieno iš jų eksponentas yra lygus 1. Todėl lygtį galima pavaizduoti taip:

Ateities vertė = 10 000 USD × (1 + 0, 045) 2 \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {Ateities vertė} = \ 10 000 USD \ kartų (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ pabaiga {suderinta} Ateities vertė = 10 000 USD × ( 1 + 0, 045) 2

Matome, kad eksponentas yra lygus metų skaičiui, už kurį pinigai uždirba susidomėjimą investicija. Taigi trejų metų būsimos investicijos vertės apskaičiavimo lygtis atrodytų taip:

Ateities vertė = 10 000 USD × (1 + 0, 045) 3 \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {Ateities vertė} = \ 10 000 USD \ kartų (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ pabaiga {suderinta} Ateities vertė = 10 000 USD × ( 1 + 0, 045) 3

Tačiau mums nereikia nuolat skaičiuoti būsimos vertės po pirmųjų metų, paskui po antrųjų metų, paskui trečiųjų metų ir pan. Galite taip viską išsiaiškinti iškart. Jei žinote esamą pinigų sumą, kurią turite investavę, jos grąžos normą ir kiek metų norėtumėte laikyti šią investiciją, galite apskaičiuoti būsimą tos sumos vertę (FV). Tai padaryta su lygtimi:

FV = PV × (1 + i) n kur: FV = Ateities reikšmėPV = Dabartinė vertė (pradinė pinigų suma) i = Palūkanų norma periodui = Laikotarpių skaičius \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {FV} = \ tekstas { PV} \ kartų (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {FV} = \ tekstas {būsimoji vertė} \\ & \ tekstas {PV} = \ tekstas {Dabartinė vertė ( pradinė pinigų suma)} \\ & i = \ tekstas {palūkanų norma už periodą} \\ & n = \ tekstas {laikotarpių skaičius} \\ \ pabaiga {suderinta} FV = PV × (1 + i) n kur: FV = Ateities vertėPV = Dabartinė vertė (pradinė pinigų suma) i = Palūkanų norma per laikotarpį = Periodų skaičius

Dabartinės vertės pagrindai

Jei šiandien gautumėte 10 000 USD, dabartinė jo vertė, be abejo, būtų 10 000 USD, nes dabartinė vertė yra tokia, kokią suteikia jūsų investicija dabar, jei ją išleistumėte šiandien. Jei gautumėte 10 000 USD per vienerius metus, dabartinė sumos vertė nebūtų 10 000 USD, nes neturite jos rankoje dabar.

Norėdami sužinoti dabartinę 10 000 USD vertę, kurią gausite ateityje, turite apsimesti, kad 10 000 USD yra bendra ateityje investuotos sumos vertė ateityje. Kitaip tariant, norėdami sužinoti dabartinę būsimų 10 000 USD vertę, turime išsiaiškinti, kiek mes turėtume investuoti šiandien, kad gautume tą 10 000 USD per vienerius metus.

Norėdami apskaičiuoti dabartinę vertę arba sumą, kurią šiandien turėtume investuoti, turite atimti (hipotetines) sukauptas palūkanas iš 10 000 USD. Norėdami tai pasiekti, būsimą mokėjimo sumą (10 000 USD) galime diskontuoti pagal laikotarpio palūkanų normą. Iš esmės viskas, ką darote, yra aukščiau išdėstytos būsimos vertės lygties pertvarkymas, kad galėtumėte išspręsti dabartinę vertę (PV). Aukščiau pateiktą būsimos vertės lygtį galima perrašyti taip:

PV = FV (1 + i) n \ prasideda {suderintas} & \ tekstas {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ pabaiga {suderinta} PV = (1 + i) nFV

Alternatyvi lygtis būtų:

PV = FV × (1 + i) - niekur: PV = dabartinė vertė (pradinė pinigų suma) FV = būsimoji vertėi = palūkanų norma už periodą = laikotarpių skaičius \ prasideda {suderinta} & \ tekstas {PV} = \ tekstas {FV} \ kartų (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {PV} = \ tekstas {Dabartinė vertė (pradinė pinigų suma)} \\ & \ tekstas {FV} = \ tekstas {būsimoji vertė} \\ & i = \ tekstas {Palūkanų norma per laikotarpį} \\ & n = \ tekstas {Laikotarpių skaičius} \\ \ pabaiga {suderinta} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = dabartinė vertė (pradinė pinigų suma) FV = būsimoji vertėi = laikotarpio palūkanų norma = laikotarpių skaičius

Dabartinės vertės apskaičiavimas

Pažvelkime atgal iš B variante siūlomų 10 000 USD. Atminkite, kad 10 000 USD, kuriuos reikia gauti per trejus metus, iš tikrųjų sutampa su būsima investicijos verte. Jei prieš gaudami pinigus turėtume vienerius metus, mes nuolaidą mokėtume vieneriems metams. Naudojant dabartinės vertės formulę (2 versija), esant dabartiniam dvejų metų ženklui, dabartinė 10 000 USD, kuriuos reikia gauti per vienerius metus, vertė būtų 10 000 USD x (1 +045) ^-1 = 9569, 38 USD.

Atkreipkite dėmesį, kad jei šiandien būtume pasiekę vienerių metų ribą, minėti 9 569, 38 USD būtų laikomi būsima mūsų investicijų verte po vienerių metų.

Tęsdami tai, pirmųjų metų pabaigoje tikimės, kad per dvejus metus gausime 10 000 USD išmoką. Esant 4, 5% palūkanų normai, apskaičiuota dabartinė 10 000 USD įmokos, kurios tikimasi per dvejus metus, vertė būtų 10 000 USD x (1 +045) ^-2 = 9157, 30 USD.

Žinoma, dėl eksponentų taisyklės kiekvienais metais nereikia skaičiuoti būsimos investicijos vertės, skaičiuojant nuo 10 000 USD investicijų trečiaisiais metais. Galėtume glaustai pateikti lygtį ir panaudoti 10 000 USD kaip FV. Taigi, štai kaip galite apskaičiuoti dabartinę 10 000 USD vertę, kurios tikimasi iš trejų metų investicijų, uždirbančių 4, 5%:

8 762, 97 USD = 10 000 USD × (1 + .045) −3 \ prasideda {išlyginta} & \ 8 762, 97 = = 10 000 USD \ kartų (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ pabaiga {suderinta} 8 762, 97 USD = 10 000 USD × ( 1 + .045) −3

Taigi dabartinė būsimo 10 000 USD įmokos vertė šiandien yra 8772, 97 USD, jei palūkanų normos yra 4, 5% per metus. Kitaip tariant, pasirinkti B variantą yra taip, kaip dabar imti 8 722, 97 USD, o tada investuoti į trejus metus. Aukščiau pateiktos lygtys parodo, kad A variantas yra geresnis ne tik todėl, kad šiuo metu jums siūlo pinigų, bet ir todėl, kad siūlo daugiau nei 1 233, 03 USD (10 000 USD - 8 722, 97 USD) grynaisiais! Be to, jei investuosite 10 000 USD, kuriuos gausite iš A parinkties, jūsų pasirinkimas suteiks jums būsimą vertę, kuri yra 1 411, 66 USD (11 411, 66 USD - 10 000 USD), didesnė už būsimą B varianto vertę.

Dabartinė būsimo mokėjimo vertė

Pakelkime ante dėl mūsų pasiūlymo. Ką daryti, jei būsimas mokėjimas yra didesnis už tą sumą, kurią gautumėte iškart? Tarkime, kad šiandien galite gauti 15 000 USD arba 18 000 USD per ketverius metus. Dabar sprendimas yra sunkesnis. Jei nuspręsite šiandien gauti 15 000 USD ir investuosite visą sumą, iš tikrųjų per ketverius metus jums gali tekti sumokėti mažiau nei 18 000 USD grynųjų pinigų.

Kaip nuspręsti? Galite sužinoti būsimą 15 000 USD vertę, tačiau kadangi mes visada gyvename dabartyje, suraskime 18 000 USD dabartinę vertę. Šį kartą mes manysime, kad palūkanų normos šiuo metu yra 4%. Atminkite, kad dabartinės vertės lygtis yra tokia:

PV = FV × (1 + i) −n \ prasideda {suderinta} ir \ tekstas {PV} = \ tekstas {FV} \ kartų (1 + i) ^ {- n} \\ \ pabaiga {suderinta} PV = FV × (1 + i) −n

Aukščiau pateiktoje lygtyje viskas, ką mes darome, yra diskontuojama būsima investicijos vertė. Naudojant aukščiau pateiktus skaičius, dabartinė 18 000 USD įmoka per ketverius metus būtų apskaičiuota kaip 18 000 USD x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 USD.

Remdamiesi aukščiau pateiktu skaičiavimu, dabar žinome, kad šiandien mes pasirenkame 15 000 USD arba 15 386, 48 USD. Žinoma, turėtume pasirinkti atidėti mokėjimą ketveriems metams!

Esmė

Šie skaičiavimai rodo, kad laikas tiesiogine prasme yra pinigai - dabar turimų pinigų vertė nėra tokia pati, kokia bus ateityje, ir atvirkščiai. Taigi svarbu žinoti, kaip apskaičiuoti pinigų laiko vertę, kad galėtumėte atskirti investicijų, siūlančių grąžą skirtingu metu, vertę. (Apie tai skaitykite skyrelyje „Pinigų ir dolerio laiko vertė“)