Bajeso teoremos apibrėžimas
Bayes'o teorema, pavadinta 18-ojo amžiaus britų matematiko Thomaso Bayeso vardu, yra matematinė sąlyginės tikimybės nustatymo formulė. Teorema suteikia galimybę peržiūrėti esamas prognozes ar teorijas (atnaujinimo tikimybes), atsižvelgiant į naujus ar papildomus įrodymus. Finansų srityje Bayes'o teorema gali būti naudojama norint įvertinti pinigų skolinimo potencialiems skolininkams riziką.
Bayes'o teorema taip pat vadinama Bayes'o taisykle arba Bayes'o dėsniu ir yra Bajeso statistikos lauko pagrindas.
Pagrindiniai išvežamieji daiktai
- Bayes'o teorema leidžia atnaujinti numatomas įvykio tikimybes įtraukiant naują informaciją.
- Bayes'o teorema buvo pavadinta XVIII amžiaus matematiko Thomaso Bayeso vardu.
- Jis dažnai naudojamas finansuose atnaujinant rizikos vertinimą.
Bayes'o teoremos formulė yra
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B), kur: P (A) = A atsiradimo tikimybėP (B) = B įvykimo tikimybėP (A∣B) = A tikimybė, kad duotas BP (B∣A) = B tikimybė, suteikta AP (A⋂B)) = Tikimybė, kad A ir B įvyks \ prasideda {suderinta} ir P \ kairė (A | B \ dešinė) = \ frac {P \ kairė (A \ bigcap {B} \ dešinė)} {P \ kairė (B \ dešinė)} = \ frac {P \ kairė (A \ dešinė) \ cdotP \ kairė (B} {P \ kairė (B \ dešinė)} \\ & \ textbf {kur:} \\ ir P \ kairė (A \ dešinė) = \ tekstas {A atsiradimo tikimybė} \\ & P \ kairė (B \ dešinė) = \ tekstas {B atsiradimo tikimybė} \\ & P \ kairė (A | B \ dešinė) = \ tekstas {A tikimybė, kad duota B} \\ & P \ kairė (B | A \ dešinė) = \ tekstas {B tikimybė, kad duota A} \\ & P \ kairė (A \ bigcap {B} \ dešinė)) = \ tekstas {A ir B tikimybė} \\ \ pabaiga {suderinta} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), kur: P (A) = įvykio tikimybė P (B) = B atsiradimo tikimybėP (A∣B) = A tikimybė, kad duotas BP (B∣A) = B tikimybė, kad duota AP (A⋂B)) = A ir B atsiradimo tikimybė
Paaiškinta Bayes'o teorema
Teormos taikymai yra plačiai paplitę ir neapsiriboja finansine sritimi. Pavyzdžiui, Bayes'o teorema gali būti naudojama nustatant medicininių tyrimų rezultatų tikslumą atsižvelgiant į tai, kokia tikimybė tam tikram asmeniui turi ligą, ir bendrą tyrimo tikslumą. Bayes'o teorema remiasi ankstesnių tikimybių pasiskirstymų įtraukimu, kad būtų sukurtos užpakalinės tikimybės. Ankstesnė tikimybė, remiantis Bajeso statistine išvada, yra įvykio tikimybė prieš renkant naujus duomenis. Tai yra geriausias racionalus rezultato tikimybės įvertinimas, remiantis turimomis žiniomis prieš atliekant eksperimentą. Užpakalinė tikimybė yra patikslinta įvykio tikimybė atsižvelgiant į naują informaciją. Užpakalinė tikimybė apskaičiuojama atnaujinant ankstesnę tikimybę naudojant Bayes'o teoremą. Statistiniu požiūriu užpakalinė tikimybė yra įvykio A tikimybė, atsižvelgiant į įvykį B.
Taigi Bayes'o teorema suteikia įvykio tikimybę remiantis nauja informacija, kuri yra arba gali būti susijusi su tuo įvykiu. Formulė taip pat gali būti naudojama norint pamatyti, kaip hipotetinė nauja informacija įtakoja įvykio tikimybę, tarkime, kad nauja informacija pasirodys teisinga. Pavyzdžiui, tarkime, kad viena kortelė yra ištraukta iš viso 52 kortelių denio. Tikimybė, kad kortelė yra karalius, yra 4 padalyta iš 52, o tai lygu 1/13 arba apytiksliai 7, 69%. Atminkite, kad denyje yra 4 karaliai. Dabar, tarkime, paaiškėjo, kad pasirinkta kortelė yra veido kortelė. Tikimybė, kad pasirinkta kortelė yra karalius, atsižvelgiant į veido kortelę, yra 4 padalyta iš 12 arba apytiksliai 33, 3%, nes denyje yra 12 veido kortelių.
Derinkite Bajeso teoremos formulę su pavyzdžiu
Bajeso teorema išplaukia tiesiog iš sąlyginės tikimybės aksiomų. Sąlyginė tikimybė yra įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvyko kitas įvykis. Pavyzdžiui, paprastas tikimybės klausimas gali užduoti: „Kokia tikimybė, kad„ Amazon.com, Inc. “(NYSE: AMZN) akcijų kaina kris?“ Sąlyginė tikimybė pakelia šį klausimą dar vieną žingsnį paklausiant: „Kokia yra tikimybė, kad AMZN akcijų kaina kris, atsižvelgiant į tai, kad„ Dow Jones Industrial Average “(DJIA) indeksas krito anksčiau?“
Sąlyginė A tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad B įvyko, gali būti išreikšta taip:
Jei A yra: „AMZN kaina krinta“, tada P (AMZN) yra tikimybė, kad AMZN kris; ir B yra: „DJIA jau nusileido“, o P (DJIA) yra tikimybė, kad DJIA nukrito; tada sąlyginės tikimybės išraiška skaitoma taip: „tikimybė, kad AMZN sumažėja, atsižvelgiant į DJIA kritimą, yra lygi tikimybei, kad AMZN kaina mažėja, o DJIA mažėja, palyginti su DJIA indekso sumažėjimo tikimybe.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN ir DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN ir DJIA) yra A ir B pasireiškimo tikimybė. Tai taip pat sutampa su A atsiradimo tikimybe, padauginta iš tikimybės, kad B įvyks, atsižvelgiant į tai, kad A pasitaiko, išreikštu P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Tai, kad šios dvi išraiškos yra lygios, lemia Bayes'o teoremą, kuri parašyta taip:
jei, P (AMZN ir DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
tada P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Kur P (AMZN) ir P (DJIA) yra tikimybė, kad „Amazon“ ir „Dow Jones“ kris, neatsižvelgdamos viena į kitą.
Formulė paaiškina ryšį tarp hipotezės tikimybės prieš pamačius įrodymus, kad P (AMZN), ir hipotezės tikimybės gavus įrodymus P (AMZN | DJIA), pateikiant hipotezę apie „Amazon“ pateiktus įrodymus „Dow“.
Skaitinis Bayes'o teoremos pavyzdys
Kaip skaitmeninį pavyzdį įsivaizduokite, kad yra narkotikų testas, kurio tikslumas yra 98%, ty 98% laiko jis rodo tikrą teigiamą rezultatą tiems, kurie vartoja šį narkotiką, ir 98% laiko rodo tikrąjį neigiamą rezultatą tiems, kurie nenaudoja narkotikų. narkotikas. Be to, tarkime, kad 0, 5% žmonių vartoja šį narkotiką. Jei atsitiktine tvarka pasirinktas asmuo teigia, kad vaistas yra teigiamas, galima apskaičiuoti, ar tikimybė, kad asmuo iš tikrųjų yra narkotiko vartotojas, gali būti atlikta toliau.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayes'o teorema parodo, kad net jei asmuo teigiamai įvertino šį scenarijų, iš tikrųjų daug didesnė tikimybė, kad asmuo nėra narkotiko vartotojas.
Palyginkite investicinių sąskaitų teikėjo pavadinimą Aprašymas Skelbėjo informacijos atskleidimas × Šioje lentelėje pateikti pasiūlymai yra iš partnerystės, iš kurios „Investopedia“ gauna kompensaciją.