Anuitetų dabartinės ir būsimos vertės apskaičiavimas

Tam tikru savo gyvenimo momentu jums per tam tikrą laiką galėjo tekti atlikti keletą fiksuotų mokėjimų, tokių kaip nuomos ar automobilio mokėjimai, arba per tam tikrą laikotarpį gauti keletą mokėjimų, pavyzdžiui, palūkanas už obligacijas ar Kompaktiniai diskai. Tai vadinama anuitetais (bendresnis žodžio vartojimas - nereikia painioti su konkrečiu finansiniu produktu, vadinamu anuitetu, nors abu yra susiję). Jei suprantate pinigų laiko vertę, esate pasirengęs sužinoti apie anuitetus ir kaip apskaičiuoti jų dabartinę ir būsimą vertę.

Kas yra anuitetai?

Anuitetai iš esmės yra fiksuotų įmokų, reikalaujamų iš jūsų arba mokamų tam tikru periodiškumu per nustatytą laikotarpį, serija. Mokėjimo dažnumas gali būti kasmet, pusmetį (du kartus per metus), kas ketvirtį ir mėnesį. Yra du pagrindiniai anuitetų tipai: paprasti anuitetai ir mokėtini anuitetai.

• Įprastinis anuitetas: Mokėti reikia kiekvieno laikotarpio pabaigoje. Pavyzdžiui, paprastosios obligacijos paprastai moka kuponus kas šešis mėnesius iki obligacijų išpirkimo dienos.
• Mokėtinas anuitetas: Mokėti reikia kiekvieno laikotarpio pradžioje. Nuoma yra anuiteto pavyzdys. Paprastai jūs turite mokėti nuomą, kai pirmą kartą persikeliate mėnesio pradžioje, o paskui - kiekvieno mėnesio pirmą dieną.

Kadangi dabartiniai ir būsimi įprastų anuitetų ir mokėtinų anuitetų skaičiavimai šiek tiek skiriasi, mes juos aptarsime atskirai.

Įprasti anuitetai

Ateities vertės apskaičiavimas

Jei žinote, kiek galite investuoti per tam tikrą laikotarpį, tam tikro laikotarpio anuiteto formulės būsimoji vertė (FV) yra naudinga norint sužinoti, kiek turėtumėte ateityje. Jei mokate už paskolą, būsimoji vertė yra naudinga nustatant bendrą paskolos kainą. Jei žinote, kiek planuojate investuoti kiekvienais metais, ir fiksuotą grąžos normą, jūsų anuitetų garantijas - arba paskoloms - mokėjimų sumą ir nurodytą palūkanų normą - galite bet kuriuo metu lengvai nustatyti savo sąskaitos vertę. ateitis.

Dabar pažiūrėkime į 1 pavyzdį. Apsvarstykite šį anuiteto pinigų srautų grafiką:

Norėdami apskaičiuoti būsimą anuiteto vertę, turime apskaičiuoti būsimą kiekvieno grynųjų pinigų srauto vertę. Tarkime, kad ateinančius penkerius metus jūs gaunate 1000 USD kiekvienais metais ir investuojate kiekvieną išmoką su 5% palūkanų. Ši schema parodo, kiek turėtumėte penkerių metų laikotarpio pabaigoje:

Kadangi turime pridėti būsimą kiekvieno mokėjimo vertę, galbūt pastebėjote, kad jei turite įprastą anuitetą su dideliais pinigų srautais, ilgai skaičiuoti visas ateities vertes ir jas sudėti būtų daug laiko. Laimei, matematika pateikia formulę, kuri naudojama kaip nuoroda norint sukaupti visų pinigų srautų, gautų iš įprasto anuiteto, sukauptą vertę:

FVO įprastas anuitetas = C × [(1 + i) n − 1i], kur: C = grynųjų pinigų srautas per periodą = palūkanų ratenimas = mokėjimų skaičius \ prasideda {suderintas} & \ tekstas {FV} _ {\ tekstas {įprastas ~ anuitetas }} = \ tekstas {C} \ kartų \ didelis [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ didelis] \\ & \ textbf {kur:} \\ & \ tekstas {C} = \ tekstas {grynųjų pinigų srautas per laikotarpį} \\ & i = \ tekstas {palūkanų norma} \\ & n = \ tekstas {mokėjimų skaičius} \\ \ pabaiga {suderinta} FVO įprastas anuitetas = C × [i (1 + i) n − 1], kur: C = grynųjų pinigų srautas per periodą = palūkanų procentas = mokėjimų skaičius

Naudojant aukščiau pateiktą 1 pavyzdžio formulę, gaunamas rezultatas:

FVO įprastas anuitetas = 1000 USD × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = 1000 USD × [5, 53] \ prasideda {suderintas} \ tekstas {FV} _ {\ tekstas {įprastas ~ anuitetas}} & = \ 1000 USD \ kartų \ liko [\ frakas {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ dešinėje] \\ & = \ 1000 USD \ kartų [5, 53] \\ & = \ 5525, 63 USD \ pabaiga {suderinta} FVO įprastas anuitetas = 1000 USD × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1 000 USD × [5, 53]

Dabartinės vertės apskaičiavimas

Atminkite, kad vieno cento skirtumas tarp 5 525, 64 ir 5 525, 63 USD atsiranda dėl apvalinimo klaidos atliekant pirmąjį skaičiavimą. Kiekviena pirmojo skaičiavimo vertė turi būti suapvalinta iki artimiausio cento - kuo daugiau skaičiavimų turite apvalinti skaičiais, tuo labiau tikėtina, kad atsiras apvalinimo klaidų. Taigi, aukščiau pateikta formulė ne tik suteikia nuorodą ieškant įprastos anuiteto FV, bet ir pateikia tikslesnį rezultatą.

Dabartinė anuiteto vertė yra tiesiog dabartinė visų pajamų, gautų iš šios investicijos ateityje, vertė. Šis skaičiavimas grindžiamas pinigų laiko vertės samprata, teigiančia, kad dabar doleris yra vertas daugiau nei ateityje uždirbtas doleris. Dėl šios priežasties dabartinės vertės skaičiavimai naudoja laikotarpį, per kurį gaunamos pajamos, skaičių, kad būtų diskontuojama būsimų mokėjimų vertė.

Jei norėtumėte nustatyti būsimos mokėjimų serijos šiandienos vertę, turite naudoti formulę, apskaičiuojančią paprasto anuiteto dabartinę vertę (PV). Tai yra formulė, kurią naudosite apskaičiuodami obligacijų kainą. Įprasto anuiteto PV apskaičiuoja dabartinę kupono įmokų, kurias gausite ateityje, vertę.

2 pavyzdyje naudosime tą patį anuiteto grynųjų pinigų srautų grafiką kaip ir 1 pavyzdyje. Norėdami gauti bendrą diskontuotą vertę, turime paimti kiekvieno būsimo mokėjimo dabartinę vertę ir, kaip tai darėme 1 pavyzdyje, pridėti pinigų srautai kartu.

Vėlgi, visų šių verčių apskaičiavimas ir pridėjimas užtruks daug laiko, ypač jei tikimės, kad ateityje mokėsime daug. Nors daugybė internetinių skaičiuotuvų gali nustatyti dabartinę anuiteto vertę, reguliaraus anuiteto formulę apskaičiuoti ranka nėra per daug sudėtinga, jei mes naudojame matematinį nuorodą įprasto anuiteto PV.

PVĮprastinis anuitetas = C × [1− (1 + i) −ni] \ tekstas {PV} _ {\ tekstas {įprastas ~ anuitetas}} = \ tekstas {C} \ kartų \ didelis [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVĮprastinis anuitetas = C × [i1− (1 + i) −n]

Formulė suteikia mums PV per kelis paprastus veiksmus. Čia pateiktas anuiteto apskaičiavimas, pateiktas 2 pavyzdžio diagramoje:

PV įprastas anuitetas = 1000 USD × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1000 USD × [4, 33] \ prasideda {suderintas} \ tekstas {PV} _ {\ tekstas {įprastas ~ anuitetas}} & = \ 1000 USD \ kartų \ Didelis [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ kartų [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ pabaiga {suderinta} PVOrdinarinis anuitetas = 1000 USD × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 USD × [4, 33]

Ateities vertės apskaičiavimas

Kai gaunate ar mokate pinigų srautus už mokėtiną anuitetą, jūsų pinigų srautų grafikas bus toks:

Kadangi kiekvienas serijos mokėjimas atliekamas vienu periodu anksčiau, turime atimti formulę nuo vieno laikotarpio atgal. Nedidelis „anuiteto FV“ formulės pakeitimas apima mokėjimus, įvykstančius kiekvieno laikotarpio pradžioje. 3 pavyzdyje paaiškinkime, kodėl šis pakeitimas reikalingas, kai kiekvienas 1000 USD mokėjimas atliekamas laikotarpio pradžioje, o ne pabaigoje (palūkanų norma vis tiek yra 5%):

Atminkite, kad mokant laikotarpio pradžioje, kiekviena suma laikotarpio pabaigoje laikoma ilgesnė. Pvz., Jei 1 000 USD būtų investuota kiekvienų metų sausio 1 d., O ne gruodžio 31 d., Paskutinis mokėjimas, prieš vertinant mūsų investiciją penkerių metų pabaigoje (gruodžio 31 d.), Būtų buvęs atliktas prieš metus (sausio 1 d.), O ne tą pačią dieną, kai ji yra įvertinta. Ateities anuiteto formulės vertė būtų tokia:

FVAnaudai mokėtini = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ tekstas {Anuitetas mokėtinas}} = C \ kartus \ liko [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ dešinėje] \ kartų (1 + i) FVAnatūralumo trukmė = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Todėl,

Mokėtinas FVAnnuity = 1000 USD × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 5, 53 × 1, 05 \ prasideda {suderinta} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ 1000 USD \ times \ left [\ frakas {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ dešinėje] \ kartų (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ kartų5, 53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ pabaiga { suderinta} FVAnnuitytumas = 1000 USD × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1 000 USD × 5, 53 × 1, 05

Dėl anuitetų mokėjimo

Dabartinės vertės apskaičiavimas

Norėdami gauti dabartinę anuiteto mokėtinos formulės vertę, turime diskontuoti formulę vienu laikotarpiu į priekį, nes mokėjimai yra laikomi trumpesnį laiką. Apskaičiuodami dabartinę vertę, darome prielaidą, kad pirmasis mokėjimas buvo atliktas šiandien.

Šią formulę galėtume naudoti apskaičiuodami dabartinę būsimų jūsų nuomos mokesčių vertę, kaip nurodyta nuomos sutartyje, kurią pasirašote su savo savininku. Tarkime, kad sumokėsite pirmąjį nuomos mokestį (žr. 4 pavyzdį žemiau) mėnesio pradžioje ir tą pačią dieną įvertinate dabartinę jūsų penkių mėnesių nuomos vertę. Dabartinė vertė skaičiuojama taip:

Žinoma, esamai anuiteto vertei apskaičiuoti galime naudoti formulės nuorodą:

Mokėtinas PVAnnuomumas = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ tekstas {Anuitetas mokėtinas}} = C \ kartus \ liko [\ frakas {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ dešinėje] \ kartų (1 + i) PVAnatūralumo trukmė = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Todėl,

Mokėtinas PVA annuitetas = 1000 USD × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 USD × 4, 33 × 1, 05 \ prasideda {suderinta} PV _ {\ tekstas {Annuity Due}} & = \ 1000 USD \ kartų \ kairė [\ frakas {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ dešinė] \ kartų (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ kartų4, 33 \ kartų1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ pabaiga {suderinta} PVAnnuodumas mokėtinas = 1000 USD × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5]) × (1 + 0, 05) = 1 000 × 4, 33 × 1, 05 USD

Prisiminkite, kad dabartinė paprasto anuiteto vertė grąžino 4 329, 48 USD. Dabartinė įprasto anuiteto vertė yra mažesnė už mokėtiną anuitetą, nes kuo toliau mes diskontuojame būsimą mokėjimą, tuo mažesnė yra jo dabartinė vertė - kiekvienas įprastos anuiteto mokėjimas ar pinigų srautai įvyksta vienu laikotarpiu toliau.

Laiko pinigų vertė

Ateities vertės apskaičiavimas grindžiamas pinigų laiko vertės samprata. Tai paprasčiausiai reiškia, kad šiandien uždirbtas doleris yra vertas daugiau nei rytoj uždirbtas doleris, nes dabar jūsų kontroliuojamos lėšos gali būti investuojamos ir uždirbti palūkanas. Todėl būsimoji anuiteto vertė yra didesnė už visų jūsų investicijų sumą, nes laikui bėgant šios įmokos uždirbo palūkanas. Pavyzdžiui, būsimoji 1000 USD, investuotų šiandien su 10% palūkanomis, vertė yra 1 100 USD per metus nuo dabar. Vieno dolerio vertė yra 1, 10 USD per metus dėl pinigų laiko vertės.

Tarkime, kad 15 metų kasmet mokate 5000 USD įprasto anuiteto. Tai uždirba 9% palūkanų, sudėtų kasmet.

FV = 5000 USD × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × 2, 642 ÷ 0, 09 \ prasideda {suderinta} FV & = 5000 USD \ kartų \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div. 0, 09 \} \\ & = \ 5000 USD \ kartų \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div. 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 USD \ kartų 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ 5000 USD \ kartų \ 146 804.58 \ pabaiga {suderinta} FV = 5000 USD × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = 5000 USD × 2.642 ÷ 0.09

Neįdiegus susidomėjimo galios, jūsų 5000 USD įmokų serija yra verta tik 75 000 USD 15 metų pabaigoje. Vietoj to, taikant sudėtines palūkanas, būsimojo jūsų anuiteto vertė yra beveik dvigubai didesnė nei 146 804, 58 USD.

Norėdami apskaičiuoti būsimą anuiteto vertę ateityje, paprastą būsimą vertę tiesiog padauginkite iš 1+ i (palūkanų norma). Aukščiau pateiktame pavyzdyje būsimoji anuiteto vertė, turinti tais pačiais parametrais, yra paprasčiausiai 146 804, 58 USD x (1 + 0, 09) arba 160 016, 99 USD.

Dabartinės vertės svarstymai

Skaičiuojant dabartinę anuiteto vertę, svarbu, kad visi kintamieji būtų nuoseklūs. Pavyzdžiui, jei anuitetas moka metines išmokas, palūkanų norma taip pat turi būti išreikšta kaip metinė norma. Pavyzdžiui, jei anuitetas moka mėnesines įmokas, palūkanų norma taip pat turi būti išreikšta mėnesio norma.

Tarkime, kad anuitetui taikoma 10% palūkanų norma, kuri sukuria 3000 USD metines išmokas ateinantiems 15 metų. Dabartinė šio anuiteto vertė yra:

= 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 USD × ((1 −2 39392) ÷ 0, 1) = 3 000 USD × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3000 USD × 7, 60608 \ prasideda {išlyginta } & = \ 3000 USD \ kartų (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div. 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ kartų ((1 - .239392) \ div. 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ kartų (0, 760608 \ div. 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ kartų 7.60608 \\ & = \ $ 22 818 \ pabaiga {suderinta} = 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 USD × ((1 −2 39392) ÷ 0, 1) = 3 000 USD × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 USD × 7, 60608

Dabartinė anuiteto vertė

Esmė

Dabar galite pamatyti, kaip anuitetai veikia tai, kaip apskaičiuojate bet kokią pinigų sumą dabartine ir būsima verte. Atminkite, kad mokėjimų dažnumas arba mokėjimų skaičius ir šių mokėjimų atlikimo laikas (kiekvieno mokėjimo laikotarpio pradžioje ar pabaigoje) yra visi kintamieji, į kuriuos turite atsižvelgti apskaičiuodami.

Planuodami pensiją svarbu gerai žinoti, kiek pajamų galite pasikliauti kiekvienais metais. Nors gali būti gana lengva sekti, kiek įdedate į darbdavių remiamus pensijų planus, individualias pensijų sąskaitas (IRA) ir anuitetus, ne visada taip lengva žinoti, kiek išeisite. Laimei, kai kalbama apie fiksuotos palūkanų anuitetus ar planus, investuojamus į fiksuotos palūkanų normos vertybinius popierius, yra paprastas būdas apskaičiuoti, kiek pinigų galite tikėtis turėti po išėjimo į pensiją, atsižvelgiant į tai, kiek įdėjote į sąskaitą per savo darbo metus .